对称积视角下的同调定义相关技术疑问

嗨，这个问题问得非常好！我当初第一次接触这种同调的同伦论视角时也有过类似的困惑，咱们一步步来拆解你的疑问：

问题1：为什么要限制在CW复形上？这个定义不能用于任意空间吗？ #

其实不是说这个定义完全没法套在任意空间上，而是CW复形的良好性质能让这个定义和我们熟悉的奇异同调完美对应，同时避开很多拓扑空间的“病态”问题：

• 首先，对称积SPX的拓扑和同伦群性质在CW复形上是最清晰的。对于一些非CW的“奇怪”空间（比如非局部紧致、分离性不好的空间），无序元组构成的对称积本身的拓扑构造就会出问题，导致$\pi_n(SPX)$没法满足同调群该有的公理（比如切除公理）。
• 其次，这本书的核心是“同伦论导向的代数拓扑”，而CW复形是同伦论里的“标准模型空间”——所有拓扑空间都和某个CW复形同伦等价，而且CW复形的同伦群、同调群计算有一套成熟的工具链。作者先限制在CW复形上，是为了先建立起这个同调定义和经典理论的等价性，之后再通过同伦等价把结论推广到更一般的空间。
• 最后，直接把$\pi_n(SPX)$当作任意空间的同调群是不严谨的，因为对于非CW空间，它不一定能满足同调群的所有公理，而CW复形刚好能保证这些公理全部成立。

问题2：这种同调和经典奇异同调等价吗？ #

答案是对于CW复形来说，完全等价！这其实是代数拓扑里的经典结论，和Dold-Thom定理直接相关：

• 对于连通的CW复形X，它的约化奇异同调群$\tilde{H}_n(X)$和$\pi_n(SPX)$是同构的；
• 对于CW偶(X,A)，通过附加锥CA得到的$X\cup CA$的约化同调，刚好对应经典定义里的相对同调群$H_n(X,A)$，二者完全一致。

说白了，这本书是用同伦论的核心工具（同伦群）来重新定义同调群，把同调和同伦的深层联系直接摆在台面上，这对于理解同调的本质非常有帮助，而CW复形就是让这个联系成立的“安全框架”。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1072285