域扩张中元素范数的相关性质及结论验证疑问

我最近在研究有理数域$\mathbb{Q}$的有限域扩张$K$里元素的范数$N(\alpha)$——这里的$N$是相对于$\mathbb{Q} \subset K$这个扩张的范数。我知道范数的定义是元素$\alpha$在$K$的所有实/复嵌入$\sigma_i$下的像的乘积，也就是$N(\alpha) = \prod \sigma_i(\alpha)$。不过我有几个关于范数的结论想确认是不是正确的，同时也想再梳理下相关性质：

我的疑问与验证 #

• 第一个疑问：当$K=\mathbb{Q}$时，元素2的范数是2，这个应该是对的吧？
• 第二个疑问：当$K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$（$d$是无平方因子的整数）时，2的范数是不是$4$？

梳理与解答 #

先从范数的核心定义和性质入手，就能很容易验证这些结论：

1. 对于$\mathbb{Q}$中元素的范数规律：
   对于有限扩张$K/\mathbb{Q}$，次数为$n=[K:\mathbb{Q}]$，每个$\mathbb{Q}$-嵌入$\sigma:K\to\mathbb{C}$都会把$\mathbb{Q}$中的元素$q$映射到自身（因为嵌入要保持$\mathbb{Q}$的运算结构）。所以范数$N_{K/\mathbb{Q}}(q)$就是$q$连续乘$n$次，也就是$q^n$。

   • 当$K=\mathbb{Q}$时，扩张次数$n=1$，所以$N_{\mathbb{Q}/\mathbb{Q}}(2)=2^1=2$，这个结论完全正确。
   • 当$K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$时，扩张次数$n=2$，所以$N_{K/\mathbb{Q}}(2)=2^2=4$，这个结论也是正确的。换个角度用嵌入验证：$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$有两个$\mathbb{Q}$-嵌入（恒等映射和共轭映射），2在这两个映射下的像都是2，乘积自然是$2\times2=4$。

2. 补充几个实用的范数性质：

   • 范数是群同态：对于$K$中的非零元素$\alpha,\beta$，有$N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha\beta)=N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)N_{K/\mathbb{Q}}(\beta)$，这意味着范数把$K$的乘法群映射到$\mathbb{Q}$的乘法群。
   • 代数整数的范数是整数：如果$\alpha$是$K$中的代数整数（即首一整系数多项式的根），那么它的范数一定是整数——因为范数和极小多项式的常数项密切相关，而代数整数的极小多项式系数都是整数，对应的范数计算结果自然也是整数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者zero2infinity