R²基变换矩阵求解：将相交直线转换为垂直于x轴的平行直线

先给你理清楚需求和可行的思路：我们要找一个ℝ²的基变换，把原本相交的两条直线f和g，转换成垂直于x轴的平行竖直线h和i。具体的点对应关系是：直线f上的点B对应到h上的E，直线g上的点D对应到i上的F，核心目标是把f和g的交点“映射到无穷远”，这样两条直线就彻底变成平行的了。

（示意图说明：图中展示了变换前后的直线与对应点，还标注了辅助构造向量的关键点A、C、H、G、J、I）

核心思路拆解 #

你提到这是一种带缩放的“类旋转变换”，这个判断非常准确。另外你想到的高维空间扩展方案也很可行，具体可以这么落地：

• 高维嵌入：把ℝ²平面嵌入到更高维空间（比如ℝ⁴或ℝ⁵），新增一个和xy平面完全正交的单位分量（比如w轴的单位向量）。
• 构造高维基：用给定的关键点A、B、C、D，给它们补充z、v等额外维度的坐标为0，再结合w轴的单位向量，共同构建高维空间的新基。
• 基变换+投影：在高维空间完成基变换操作后，再把结果投影回原来的xy平面，这样就能实现把相交直线拉成平行竖直线的效果。

更简化的替代方案 #

如果不想搞复杂的高维操作，用齐次坐标下的射影变换会更直接：

1. 先找到f和g的交点O，我们要把它映射到竖直线的公共无穷远点（齐次坐标下为(0,1,0)）。
2. 选取三个不共线的点确定变换：比如让O→(0,1,0)，B→E（E在目标竖直线h上），D→F（F在目标竖直线i上）。
3. 根据这三组对应点写出齐次坐标的变换矩阵，再转换回ℝ²的仿射基变换，就能得到我们需要的结果。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Diego Rasero de la Fuente