关于Fulton《代数曲线》习题7.22：不可约曲线与黑塞曲线在简单结点处相交数为6的证明问询

嘿，我正在攻克Fulton《代数曲线》里的习题7.22，目前卡在第一部分的证明上：需要证明不可约平面曲线$F$和它的黑塞曲线$H$在一个简单结点$P$处的相交数等于6。先明确一下这里“简单结点”的定义：$P$是普通二重点（也就是结点），而且$F$在$P$处的两条切线$L_1, L_2$，每条切线与$F$在$P$点的相交数都满足$I(P, L_i \cap F) = 3$。

为了简化问题，我已经做了坐标系的标准化：假设$P = [0:0:1]$，两条切线分别是$X$和$Y$，这样$F$的局部展开式就可以写成$F = XY + \text{高次项}$。

题目里提示我们可以用7.5节的命题2来完成证明，但我在处理高次项的部分卡壳了，有没有熟悉这块的朋友能给我梳理下后续的思路呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者HannaHZZ