求助证明有限维空间中映射$p \mapsto \log\|x\|_p^p$的凸性

AI 小北

2026-4-16

求助证明有限维空间中映射$p \mapsto \log|x|_p^p$的凸性

我正在研读一本关于连续路径p-变差的书籍，其中引理1.6要求证明映射$p \mapsto \log |X|{p,J}^p$是凸函数（证明留作读者练习），这里$|X|{p,J}$是连续路径在$p \geq 1$时的p-变差。

我意识到这个问题可以简化为：对任意$x \in \mathbb{R}^n$，证明映射$p \mapsto \log|x|_p^p$是凸函数，其中$|x|p = \left(\sum{i=1}^n |x_i|^p\right){\frac1p}$。

不过我尝试通过二阶导数来证明时，表达式变得异常复杂，没能成功推导出来。有没有人能给我一些证明的思路提示？

嘿，我来给你几个实用的小思路，你可以试试从这些方向入手：

先简化目标函数：先把$\log|x|p^{p$展开看本质，$|x|_p}p = \sum{i=1}^n |x_i|^{p$，所以目标函数其实等价于$\log\left(\sum_{i=1}}n |x_i|^p\right)$，去掉多余的p次方嵌套后，是不是清晰多了？
利用对数凸性的等价性：凸函数的定义要求我们证明$\log f(p)$是凸的，其中$f(p)=\sum |x_i|^p$。而$\log f(p)$凸等价于$f(p)$是对数凸函数（即$\log f(\lambda p_1 + (1-\lambda)p_2) \leq \lambda \log f(p_1) + (1-\lambda)\log f(p_2)$对任意$\lambda \in [0,1], p_1,p_2 \geq1$成立）。两边取指数后，问题转化为证明$\sum |x_i|^{\lambda p_1 + (1-\lambda)p_2} \leq \left(\sum |x_i|^{p_1}\right)\lambda \left(\sum |x_i|^{p_2}\right){1-\lambda}$，这可以通过Holder不等式或者利用幂函数的凸性结合Jensen不等式来推导。
换元转化为经典凸函数：不妨假设所有$|x_i|>0$（有零元素不影响求和结果），令$a_i = \log |x_i|$，那么$f(p)=\sum e^{p a_i}$，此时$\log f(p)$就是log-sum-exp函数——这是一个被广泛证明的凸函数！你可以尝试对这个换元后的形式求二阶导数，计算量会比原形式小很多，或者直接利用log-sum-exp函数的凸性结论来完成证明。