关于组合数学中a|A|=b|B|的证明问题求助

我现在遇到了一个组合数学的证明题，是《A Path to Combinatorics for Undergraduates》里的第9.82题，题目内容如下：

• 设$A$和$B$是不相交的有限整数集合，$a$和$b$是正整数，满足：对于任意$x \in A\cup B$，要么$x + a \in A$，要么$x - b \in B$。
• 需要证明：$a\left\vert A\right\vert = b\left\vert B\right\vert$。

我自己尝试构造了几个例子验证这个结论：

• $A={4,7}$，$B={1,3,5}$：这里$a=3$，$b=2$，$3\times2=2\times3$，等式成立；
• $A={2}$，$B={1}$：这里$a=1$，$b=1$，$1\times1=1\times1$，等式也成立。

但我现在完全不知道该怎么着手证明这个一般性的结论，有没有大佬能给点思路或者提示呀？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者19021605