黄金比例幂次求和公式的证明求助

大家好，我最近研究黄金比例$\varphi$的时候，偶然碰到了一个关于它幂次的求和公式，想试着用数学归纳法证明，但卡在归纳步骤这儿了，来请大家帮忙捋捋思路！

先把要证明的问题明确下来：对于所有自然数$n \in \mathbb{N}$，证明下述等式成立：
$$
\varphi^n = \varphi^{n-2-2\left\lfloor \frac{n}{2}-1 \right \rfloor}+\sum_{i=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}-1 \right \rfloor} \varphi^{n-1-2i}
$$

我先从基础情况$n=1$开始验证：
$$
\begin{align}
\varphi^1 & = \varphi^1+0\
& = \varphi^{1-2-2\cdot (-1)}+\sum_{i=0}^{-1}\varphi{1-1-2i} \
& = \varphi^{1-2-2\cdot \left\lfloor \frac{1}{2}-1 \right \rfloor}+\sum_{i=0}^{\left\lfloor \frac{1}{2}-1 \right \rfloor}\varphi^{1-1-2i} \
\end{align}
$$
这里因为$\left\lfloor \frac{1}{2}-1 \right\rfloor = \left\lfloor -\frac{1}{2} \right\rfloor = -1$，而空求和的结果是0，所以左边等于右边，基础情况是成立的。

到了归纳步骤我就卡壳了，原本想假设$n=k$时公式成立，再推导$n=k+1$或者$n=k+2$的情况（毕竟公式里有取整操作，感觉分奇偶讨论可能更合适？），但试了好几次都没理顺逻辑。有没有大佬能指点下这个归纳步骤该怎么推进，或者有没有其他更高效的证明方法呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者haifisch123