关于微分几何学者定义的子流形与微积分学习者认知的子流形的对比及相关定义的技术咨询

嘿，咱们来聊聊微分几何里的子流形定义，和咱们初学微积分时接触的版本到底有啥差异，先从Lee的《Introduction to Smooth Manifolds》里的经典定义说起：

设$M$是一个$n$维的“抽象”光滑流形，书中给出了微分几何学者视角下的子流形定义：

定义1（微分几何学者的子流形）：$M$的一个$k$维（嵌入）子流形是子集$S\subset M$，满足：对每一点$p\in S$，都存在$M$的一个图$(U,\phi)$，使得$S$是$U$的一个$k$-切片，即
$$
\phi(U\cap S) = {(x^\prime,x{\prime\prime})\in \mathbb R^k\times \mathbb R^{n - k} : x^{\prime\prime} = 0}
$$
（注：原文此处内容有截断）

和微积分视角的子流形对比 #

你可能会发现，咱们在微积分里学的子流形，通常是从外部参数化的角度定义的：比如$\mathbb{R}^{n$里的$k$维子流形，是由一个光滑映射$f:\mathbb{R}}k\to\mathbb{R}^n$给出，要求$f$的秩处处为$k$（也就是浸入），同时$f$是单射且是同胚到它的像（也就是嵌入）。

这两种定义其实是等价的，但侧重点完全不同：

• 微积分视角：更偏向“把低维光滑结构嵌入到高维欧氏空间”，适合直观理解曲线、曲面这类具体例子；
• 微分几何学者的视角：更关注抽象流形的内在局部结构，不管原流形能不能嵌入到欧氏空间，只要局部能找到坐标把子流形“切”成$\mathbb{R}^k$的样子，就满足子流形的条件，这更适配抽象流形的研究场景。

举个简单例子：比如二维球面$S^{2$，用微积分视角看是由参数化$\theta\mapsto(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta)$定义的；而用微分几何的切片定义，球面上任意一点附近，都能找到局部坐标（比如去掉北极点的球面，用球极投影），使得球面的局部像就是$\mathbb{R}}2$里的一个开集（也就是$k=2$，$n=3$时的切片，$x''=0$）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者GeometriaDifferenziale