求掷公平6面骰子直至连续两次点数差为2的期望投掷次数

首先得纠正你之前的一个误解：确实不用局限于偶数次投掷，比如第一次掷1，第二次掷2，第三次掷4，这时候第二次和第三次的点数差为2，第三次就停止了，所以奇数次也是完全可能的。递归是正确的思路，只是需要把状态拆细——因为不同的当前点数，后续的转移概率不一样，不能一概而论。

我们可以用马尔可夫状态递推的方法来计算期望，核心是定义不同的状态，根据状态转移列方程求解：

定义状态 #

因为骰子的点数对称，我们可以把最后一次掷出的点数分成三类状态：

• 状态A：最后一次掷出1或6（这两个点数的后续转移概率完全一致）
• 状态B：最后一次掷出2或5（同理，这两个点数对称）
• 状态C：最后一次掷出3或4（这两个点数对称）

再设：

• ( E_A )：当前处于状态A时，还需要投掷的期望次数
• ( E_B )：当前处于状态B时，还需要投掷的期望次数
• ( E_C )：当前处于状态C时，还需要投掷的期望次数
• ( E )：我们最终要求的初始期望（从还没掷任何骰子开始的总期望次数）

列状态转移方程 #

1. 状态A的方程（以点数1为例）

当最后一次是1时，掷下一次骰子有6种可能：

• 掷出3（点数差为2）：概率( \frac{1}{6} )，直接停止，贡献( \frac{1}{6} \times 1 )
• 掷出1或6（回到状态A）：概率( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} )，还需要( E_A )次，贡献( \frac{1}{3} \times (1 + E_A) )
• 掷出2或5（进入状态B）：概率( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} )，还需要( E_B )次，贡献( \frac{1}{3} \times (1 + E_B) )
• 掷出4（进入状态C）：概率( \frac{1}{6} )，还需要( E_C )次，贡献( \frac{1}{6} \times (1 + E_C) )

整理后得到方程：
[
E_A = 1 + \frac{1}{3}E_A + \frac{1}{3}E_B + \frac{1}{6}E_C
]
两边乘6化简：
[
4E_A - 2E_B - E_C = 6 \tag{1}
]

2. 状态B的方程（以点数2为例）

当最后一次是2时，掷下一次骰子：

• 掷出4（点数差为2）：概率( \frac{1}{6} )，直接停止，贡献( \frac{1}{6} \times 1 )
• 掷出1或6（进入状态A）：概率( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} )，贡献( \frac{1}{3} \times (1 + E_A) )
• 掷出2或5（回到状态B）：概率( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} )，贡献( \frac{1}{3} \times (1 + E_B) )
• 掷出3（进入状态C）：概率( \frac{1}{6} )，贡献( \frac{1}{6} \times (1 + E_C) )

整理后得到方程：
[
E_B = 1 + \frac{1}{3}E_A + \frac{1}{3}E_B + \frac{1}{6}E_C
]
两边乘6化简：
[
-2E_A + 4E_B - E_C = 6 \tag{2}
]

3. 状态C的方程（以点数3为例）

当最后一次是3时，掷下一次骰子：

• 掷出1或5（点数差为2）：概率( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} )，直接停止，贡献( \frac{1}{3} \times 1 )
• 掷出2或5（进入状态B）：概率( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} )，贡献( \frac{1}{3} \times (1 + E_B) )
• 掷出3或4（回到状态C）：概率( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} )，贡献( \frac{1}{3} \times (1 + E_C) )

整理后得到方程：
[
E_C = 1 + \frac{1}{3}E_B + \frac{1}{3}E_C
]
两边乘3化简：
[
2E_C - E_B = 3 \tag{3}
]

解方程组 #

现在我们有三个方程(1)(2)(3)，一步步求解：

1. 从方程(3)得：( E_B = 2E_C - 3 )
2. 将( E_B = 2E_C - 3 )代入方程(1)，化简得：( 4E_A - 5E_C = 0 )，即( E_A = \frac{5}{4}E_C )
3. 将( E_A )和( E_B )代入方程(2)，解得：( E_C = 4 )
4. 代入得：( E_B = 2 \times 4 - 3 = 5 )，( E_A = \frac{5}{4} \times 4 = 5 )

计算初始期望E #

初始时我们还没掷骰子，第一次掷骰子后，会等概率进入状态A、B、C（每个状态的概率都是( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} )），所以初始期望：
[
E = 1 + \frac{1}{3}E_A + \frac{1}{3}E_B + \frac{1}{3}E_C
]
代入数值：
[
E = 1 + \frac{5 + 5 + 4}{3} = 1 + \frac{14}{3} = \frac{17}{3} \approx 5.667
]

所以最终的期望投掷次数是( \frac{17}{3} )次，约5.67次。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Vaibhav Dixit