$\mathbb{C}$上正常射影代数簇间双有理态射的光滑性技术问询

嘿，这个问题问得非常关键，正好切中了双有理几何里态射光滑性传递的边界情况，咱们来一步步分析：

首先把问题再明确一遍：假设$Y\to X$是$\mathbb{C}$上正常射影代数簇之间的射影双有理态射，并且$X$是光滑的，那么$Y$是否一定也是光滑的？

先从低维情形看结论：

• 当$\dim Y=1$时，结论完全是显然的。因为一维正常射影代数簇本身就是光滑曲线——正常曲线自动满足光滑性，这是代数曲线理论里的基本结论，所以不管态射如何，$Y$必然光滑。
• 当$\dim Y=2$时，结论同样成立。咱们可以用曲面奇点消解定理来构造一个交换图：$Z\to Y\to X$，其中$Z$是光滑射影曲面（任何曲面都能被光滑曲面奇点消解）。此时复合态射$Z\to X$就是两个光滑射影曲面之间的双有理态射，而根据曲面双有理几何的经典结果，这样的态射本质上就是一系列点的爆破（blow-up）的复合。这意味着$Z\to X$的例外轨迹是由若干条光滑有理曲线构成的“森林”（无环的曲线簇）。而因为$Y$是正常的，$Z\to Y$是奇点消解态射，反过来推导的话，$Y$作为$Z$收缩例外曲线得到的正常簇，必然也是光滑的——毕竟曲面的双有理收缩中，正常性加上目标$X$的光滑性，会强制$Y$没有奇点。

不过这里要划重点：高维情形下结论不成立！比如在三维及以上，存在光滑射影簇$X$，以及正常射影簇$Y$，使得$Y\to X$是射影双有理态射，但$Y$带有奇点。最经典的例子之一是通过收缩光滑簇上的某些非光滑例外子簇得到的正常但奇异的簇——这些例子说明，当维度超过2时，$X$的光滑性无法传递给双有理的正常射影簇$Y$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者imtrying46