无法使用洛必达法则时的极限比值推导疑问
首先咱们先把已知条件理得明明白白：
- 数列(b_n)趋近于1，(c_n)趋近于0，(x_n)趋向于无穷大
- 已知(\frac{U(x_n(b_n+c_n)) - U(x_n)}{a(x_n)} \to \frac{1^\gamma - 1}{\gamma} = 0)（因为(1^\gamma=1)，所以这个极限是0）
- 同时(\frac{b_n^\gamma-1}{\gamma} \to 0)（毕竟(b_n\to1)，(b_n^\gamma)自然也趋近1，分子趋近0）
要搞清楚为什么目标极限会趋近1，咱们可以先把目标式子拆成两个已知极限的比值形式：
[
\frac{[U(x_n(b_n+c_n)) - U(x_n)]\gamma}{a(x_n) (b_n^\gamma-1)} = \frac{\frac{U(x_n(b_n+c_n)) - U(x_n)}{a(x_n)}}{\frac{b_n^\gamma - 1}{\gamma}}
]
这时候你会发现，分子分母都是趋近0的无穷小，直接拿极限相除肯定不行（0/0型不能直接用商的极限法则），得从函数(U)的性质入手——我猜原文本里的(U)应该是正则变化函数（这是这类极限问题里很常见的设定），这类函数有个关键性质：当(x\to\infty)且(t\to1)时，(\frac{U(xt)-U(x)}{a(x)})和(\frac{t^\gamma -1}{\gamma})是等价无穷小，也就是：
[
\frac{U(xt)-U(x)}{a(x)} = \frac{t^\gamma -1}{\gamma} \cdot (1 + o(1))
]
这里的(o(1))表示当(x\to\infty)、(t\to1)时趋近于0的量。
现在把(t = b_n + c_n)代入这个性质，因为(b_n\to1)、(c_n\to0)，所以(t\to1)，代入后得到：
[
\frac{U(x_n(b_n+c_n)) - U(x_n)}{a(x_n)} = \frac{(b_n+c_n)^\gamma -1}{\gamma} \cdot (1 + o(1))
]
接下来只需要看(\frac{(b_n+c_n)^\gamma -1}{b_n^\gamma -1})的极限就行。咱们对((b_n+c_n)\gamma)做个变形：把它写成(b_n\gamma \cdot \left(1 + \frac{c_n}{b_n}\right)^\gamma)，因为(b_n\to1)、(c_n\to0)，所以(\frac{c_n}{b_n}\to0)，用泰勒展开（等价无穷小替换）：(\left(1 + \frac{c_n}{b_n}\right)^\gamma \sim 1 + \gamma \cdot \frac{c_n}{b_n})，代入后：
[
(b_n+c_n)^\gamma = b_n^\gamma \cdot \left(1 + \gamma \cdot \frac{c_n}{b_n} + o\left(\frac{c_n}{b_n}\right)\right) = b_n^\gamma + \gamma c_n b_n^{\gamma-1} + o(c_n)
]
这时候((b_n+c_n)^\gamma -1 = (b_n^\gamma -1) + \gamma c_n b_n^{\gamma-1} + o(c_n))。如果原文本里隐含了(c_n)是(o(b_n -1))（也就是(c_n)比(b_n-1)更快趋近于0），那因为(b_n^\gamma -1 \sim \gamma(b_n-1))（同样用泰勒展开：((1+d_n)^\gamma -1 \sim \gamma d_n)，其中(d_n=b_n-1\to0)），所以(\gamma c_n b_n{\gamma-1})是(o(b_n\gamma -1))，(o(c_n))也是(o(b_n^\gamma -1))，那：
[
(b_n+c_n)^\gamma -1 = (b_n^\gamma -1) \cdot (1 + o(1))
]
所以(\frac{(b_n+c_n)^\gamma -1}{b_n^\gamma -1} \to 1)。
最后把这些结果拼回去，目标式子就变成：
[
\frac{\frac{(b_n+c_n)^\gamma -1}{\gamma} \cdot (1 + o(1))}{\frac{b_n^\gamma -1}{\gamma}} = \frac{(b_n+c_n)^\gamma -1}{b_n^\gamma -1} \cdot (1 + o(1)) \to 1 \cdot 1 = 1
]
这样就推导出来啦～
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Phil
