关于闭子空间上消失（自伴）无界线性算子的技术问询

各位好，我这里有个关于希尔伯特空间上无界自伴算子的问题想和大家探讨：

设 $L: \mathcal{D}(L) \to H$ 是希尔伯特空间 $H$ 上一个稠定、闭且正的自伴无界线性算子，其中 $\mathcal{D}(L) \subset H$ 是 $L$ 的最大定义域。

令 $H^{\prime}$ 是 $H$ 中的闭子空间，因此 $H^{\prime}$ 本身也是希尔伯特空间，我们可以将 $H$ 分解为直和形式：$H = H^{\prime} \oplus {H^{\prime}}{\perp}.$

现在我们做这样的假设：对每一个 $u \in {H^{\prime}}{\perp} \cap \mathcal{D}(L)$，都有 $Lu = 0$，那么限制算子 $\tilde{L} := L \big|_{{H^{\prime}}{\perp} \cap \mathcal{D}(L)}$ 在 ${H^{\prime}}{\perp} \cap \mathcal{D}(L)$ 上是有界的。

（注：原问题内容存在截断，若有后续补充信息我会进一步完善表述）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者kumquat