C[0,1]对偶空间中Dirac测度线性组合的范数等式证明问询

你这个思路完全找对方向啦！要完成这个证明，关键就是构造出满足条件的连续函数 ( f \in C[0,1] )，下面就一步步给你讲怎么构造：

首先，因为 ( t_1, \ldots, t_n ) 是 ( [0,1] ) 里两两不同的点，我们可以给每个 ( t_i ) 分配一个互不相交的开邻域：比如对每个 ( i )，取足够小的 ( \varepsilon_i > 0 )，使得区间 ( (t_i - \varepsilon_i, t_i + \varepsilon_i) \cap (t_j - \varepsilon_j, t_j + \varepsilon_j) = \emptyset ) 对所有 ( j \neq i ) 成立（有限个点肯定能做到这一点，只要把 ( \varepsilon_i ) 取成比 ( t_i ) 和其他所有 ( t_j ) 的距离的一半还小就行）。

接下来构造函数 ( f )：

• 对每个 ( i )，如果 ( a_i \neq 0 )，令 ( f(t_i) = \text{sign}(a_i) )（也就是当 ( a_i > 0 ) 时取1，( a_i < 0 ) 时取-1）；如果 ( a_i = 0 )，直接令 ( f(t_i) = 0 ) 就行，这一项不影响结果。
• 在每个邻域 ( (t_i - \varepsilon_i, t_i + \varepsilon_i) ) 内部，把 ( f ) 定义成线性函数：从邻域的左端点 ( t_i - \varepsilon_i ) 处的0，线性过渡到 ( t_i ) 处的 ( \text{sign}(a_i) )，再从 ( t_i ) 线性过渡到右端点 ( t_i + \varepsilon_i ) 处的0。
• 在所有这些邻域之外的点，令 ( f(x) = 0 )。

这样构造出来的 ( f ) 满足两个关键条件：

1. 连续性：因为邻域互不相交，每个邻域内是线性连续的，邻域边界处函数值都是0，邻域外也是0，所以整个函数在 ( [0,1] ) 上连续。
2. 范数条件：( |f|_\infty \leq 1 )，因为所有点的函数值绝对值都不超过1，在 ( t_i ) 处刚好达到1或-1。

现在计算 ( \sum_{i=1}^n a_i f(t_i) )：
[
\sum_{i=1}^n a_i f(t_i) = \sum_{i=1}^n a_i \cdot \text{sign}(a_i) = \sum_{i=1}^n |a_i|
]

结合你已经证明的 ( \left|\sum_{i=1}^{n} \alpha_i \delta_{t_i} \right| \leq \sum_{i=1}^{n} |\alpha_i| )，根据对偶空间范数的定义（( |\phi| = \sup{|\phi(f)| : |f|\infty \leq 1} )），我们就可以得到：
[
\left|\sum{i=1}^{n} \alpha_i \delta_{t_i} \right| = \sum_{i=1}^{n} |\alpha_i|
]

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ioanna margaroni