证明或证伪：若事件S与A独立且S与B独立，则S与A∧B独立

嘿，先聊聊直觉上的误区——一开始我也觉得这个说法好像挺靠谱的，试了几个简单例子，发现当S和A独立、S和B独立时，不管A和B自己是不是独立，S似乎都和A∧B独立。但咱都清楚，几个正面例子根本算不上严谨的证明，甚至很可能漏掉关键的反例。

已知条件 #

• $P(S | A) = P(S)$（S与A独立）
• $P(S | B) = P(S)$（S与B独立）

要证明/证伪的结论 #

$P(S | (A\land B)) = P(S)$（S与A∧B独立）

先从独立定义展开推导 #

根据条件概率的定义，两个事件独立等价于联合概率等于各自概率的乘积，所以：
$$\begin{align*}
P(S | A) &= P(S) \
\implies P(S \land A) &= P(S) \cdot P(A) \[1em]
P(S | B) &= P(S) \
\implies P(S \land B) &= P(S) \cdot P(B)
\end{align*}$$

但这两个式子能不能直接推出$P(S \land A \land B) = P(S) \cdot P(A \land B)$呢？答案是不能，咱们用一个具体的反例就能把这个命题证伪：

反例验证 #

假设我们连续扔两次公平的硬币，定义三个事件：

• $A$：第一次扔出正面
• $B$：第二次扔出正面
• $S$：两次扔出的结果完全相同（都是正面或都是反面）

先计算各个概率：

• $P(S) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$（两次结果相同的情况有正正、反反，共2种）
• $P(S|A)$：第一次是正面时，要两次结果相同，第二次也得是正面，概率是$\frac{1}{2}$，等于$P(S)$，所以S和A独立
• $P(S|B)$：第二次是正面时，要两次结果相同，第一次也得是正面，概率是$\frac{1}{2}$，等于$P(S)$，所以S和B独立

但看$P(S|A\land B)$：A∧B是“两次都是正面”，这时候S必然发生，所以$P(S|A\land B)=1$，而$P(S)=\frac{1}{2}$，显然$1 \neq \frac{1}{2}$。

这就直接说明：即使S和A独立、S和B独立，S也不一定和A∧B独立，原命题不成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Pragy Agarwal