带概率分布L1偏差约束的有界背包最大化问题LP松弛的求解策略问询

我现在遇到了一个和经典有界背包LP松弛问题很相似的优化问题，想请教下大家的求解思路：

首先先回顾下已知的经典情况：

权重$w_i=1$的有界背包最大化问题的LP松弛模型如下：
$$
\begin{align}
&\underset{x}{\max} \sum_i c_i x_i \
& st \sum_i x_i \leq W \
& \forall i, 0\leq x_i \leq n_i
\end{align}
$$
这个问题的最优解策略我已经明确：按照$c_i$从大到小的优先级选取物品即可。

而我当前面临的问题可以表述为如下LP模型：
$$
\begin{align}
&\underset{x, p}{\max} \sum_i c_i x_i \
& st \sum_i x_i \leq W \
& \forall i, 0\leq x_i \leq p_i \
& \lVert p-\hat{p}\rVert_1 \leq \delta
\end{align}
$$
这里的$p$和$\hat{p}$都是概率分布，且满足$W\leq 1$。简单来说，我们可以优化每个物品的选取数量，但$p$与参考分布$\hat{p}$的L1偏差不能超过$\delta$。

新增这个L1偏差约束后，最优解的策略会发生怎样的变化呢？有没有像经典问题那样直观的物品选取规则可以遵循呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lweber17