关于一类级数乘积不等式的有效性问询

嘿，我最近在研究级数乘积相关的不等式，发现了一个有意思的已知结论，还衍生出了一个待验证的问题，想跟大家探讨下~

在文献[1]的推论2中，Qi及其合作者推导出了如下标记为(EI)的不等式：
$$
\Biggl[\sum_{j=0}^{{\infty}\frac{1}{\binom{j+n+2}{n}}\frac{u}{j}}{j!}\Biggr] \Bigg[\sum_{j=0}^{{\infty}\frac{1}{\binom{j+n}{n}}\frac{u}{j}}{j!}\Biggr] \ge\Biggl[\sum_{j=0}^{{\infty}\frac{1}{\binom{j+n+1}{n}}\frac{u}{j}}{j!}\Biggr]^2 \tag{EI}
$$
这个不等式对所有的$n\in\mathbb{N}$和$u\in(-\infty,\infty)$都成立。

受这个结论启发，我提出了如下问题：

问题1：如下标记为(FI)的不等式
$$
\Biggl[\sum_{j=0}^{{\infty}\frac{1}{\binom{j+n+2}{n+1}}\frac{u}{j}}{j!}\Biggr] \Biggl[\sum_{j=0}^{{\infty}\frac{1}{\binom{j+n}{n}}\frac{u}{j}}{j!}\Biggr]
\le\Biggl[\sum_{j=0}^{{\infty}\frac{1}{\binom{j+n+1}{n+1}}\frac{u}{j}}{j!}\Biggr] \Biggl[\sum_{j=0}^{{\infty}\frac{1}{\binom{j+n+1}{n}}\frac{u}{j}}{j!}\Biggr] \tag{FI}
$$
是否对所有的$n\in\mathbb{N}$和$u\in(-\infty,\infty)$都成立呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者qifeng618