不使用bump函数构造满足特定条件的$\mathcal{C}^1$类二元函数$G(x,y)$

嘿，我来给你分享一种完全不用bump函数的构造思路～先确认下你的核心需求：我们需要一个$\mathcal{C}^\infty$的二元函数$G(x,y)$，它在开矩形$(0,1)\times(0,1)$内严格正，在闭矩形$[0,1]\times[0,1]$的边界上取值为0，对吧？

你之前用支集在$[0,1]$的光滑bump函数$\rho$构造了相关函数的乘积来满足要求，现在我们换个方向，用两种不同的思路来实现：

思路一：指数函数组合（边界平坦的光滑函数） #

先定义一个单变量的$\mathcal{C}^\infty$函数：
$$
g(t) =
\begin{cases}
e^{-\frac{1}{t(1-t)}} & \text{当 } t\in(0,1), \
0 & \text{否则}.
\end{cases}
$$
这个函数的妙处在于：它在$(0,1)$内严格正，在$t=0$和$t=1$处，所有阶的导数都等于0（可以通过极限验证：每次求导后都是多项式与指数项的组合，指数项$e^{-\frac{1}{t(1-t)}}$的衰减速度比任何多项式的增长速度都快，所以趋近边界时导数都会收敛到0），而且完全不需要依赖bump函数的定义。

然后直接构造二元函数：
$$
G(x,y) = g(x)g(y)
$$
它的性质完美符合要求：

• 光滑性：两个$\mathcal{C}^{\infty$函数的乘积依然是$\mathcal{C}}\infty$；
• 内部正性：当$(x,y)\in(0,1)\times(0,1)$时，$g(x)$和$g(y)$都严格正，乘积自然也正；
• 边界为0：只要$x$或$y$取0或1，对应的$g(x)$或$g(y)$就为0，乘积也为0。

思路二：多项式乘积（极简构造） #

如果你的需求不需要“边界处各阶导数都为0”，只是满足**$\mathcal{C}^\infty$、内部正、边界取值为0**，那用多项式构造更简单：
$$
G(x,y) = x(1-x)y(1-y)
$$
这个函数的优势是极其直观：

• 光滑性：多项式本身就是$\mathcal{C}^\infty$的，乘积也不例外；
• 内部正性：在$(0,1)$内，$x(1-x)>0$、$y(1-y)>0$，所以乘积严格正；
• 边界为0：当$x=0$或$x=1$，或者$y=0$或$y=1$时，至少有一个因子为0，乘积也为0。

这个构造完全和bump函数无关，就是基础的代数组合，非常好理解～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Gary Faust