基于线性方程组无解条件的命题正确性判断问询

首先明确题目的核心前提：给定线性方程组 $Ax = b$，其中 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$x$ 是 $n$ 维未知向量，$b$ 是 $m$ 维向量。已知存在某个 $m$ 维向量 $c$，使得 $Ax = c$ 无解——这意味着矩阵 $A$ 的列空间无法覆盖整个 $\mathbb{R}^m$，也就是 $A$ 的秩 $r(A) < m$。

接下来咱们逐个分析给出的选项：

选项(A)分析 #

选项(A)表述：如果 $m \le n$，且 $d$ 是 $A$ 的第一列，那么 $Ax = d$ 有唯一解。

咱们直接举个反例就能推翻这个结论：
取 $m=2$，$n=3$，构造矩阵 $A = \begin{pmatrix}1&0&0\0&0&0\end{pmatrix}$。此时 $A$ 的列空间是 $\mathbb{R}^2$ 中所有形如 $(t, 0)$ 的向量，显然存在 $c=(0,1)$ 使得 $Ax=c$ 无解，满足题目前提。而 $d$ 是 $A$ 的第一列 $(1,0)$，那么 $Ax=d$ 的解是 $x=(1, s, t)^T$，其中 $s$ 和 $t$ 可以是任意实数——这明显是无穷多解，不是唯一解。所以选项(A)不一定成立。

选项(B)分析（注：原选项内容存在截断，这里基于同类题型常见表述补充分析） #

假设选项(B)完整表述为：如果 $m > n$，那么线性方程组 $Ax = b$ 要么有无穷多解，要么无解。

推导如下：当 $m > n$ 时，矩阵 $A$ 的秩 $r(A) \le n < m$，所以 $A$ 的列空间肯定不是整个 $\mathbb{R}^m$。对于 $Ax = b$：

• 如果 $b$ 不在 $A$ 的列空间里，方程组直接无解；
• 如果 $b$ 在列空间里，解空间的维度是 $n - r(A)$：
  • 若 $r(A) < n$，解空间维度大于0，即有无穷多解；
  • 若 $r(A) = n$（列满秩），此时解空间维度为0，也就是唯一解。

这说明该表述并不完全成立，因为存在有唯一解的情况。如果选项(B)是其他表述，可基于“$r(A) < m$”的核心前提，结合秩与解的关系进一步推导验证。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bhargav Patil