利用简单函数证明积分集的可加性

咱们先把问题背景和要证的结论明确下来：
给定测度空间$(X,\mathcal{M}, \mu)$，其中$\mu:\mathcal{M}\to [0,+\infty]$是正测度。设非负可积函数$f\in \mathcal{L}^1(\mu)$（即$f:X\to [0,+\infty)$且$\int_X f d\mu < +\infty$），另有两个不交的可测集$A,B\in \mathcal{M}$满足$A\cup B=X$，我们要证明：
$$\int_X f d\mu=\int_A f d\mu +\int_B f d\mu$$

证明过程 #

首先回忆咱们已经证过的一个结论：对于任意非负简单函数$s:X\to [0,+\infty)$，定义映射
$$\varphi:\mathcal{M}\to [0,+\infty], \quad \varphi(E)=\int_E s d\mu$$
这个$\varphi$是正测度，而正测度的核心性质之一就是对不交可测集的可加性——也就是说，对任意不交的$E_1,E_2\in \mathcal{M}$，有$\varphi(E_1\cup E_2)=\varphi(E_1)+\varphi(E_2)$。

接下来，根据Lebesgue积分的定义，非负可测函数$f$总可以表示为一列非负简单函数的单调递增极限，也就是存在简单函数序列$(s_n)_n$，满足$s_n \nearrow f$（即对每个$x\in X$，$s_n(x)$单调递增收敛到$f(x)$）。

对这列简单函数中的每一个$s_n$，利用刚才提到的正测度可加性：
$$\int_X s_n d\mu = \int_{A\cup B} s_n d\mu = \int_A s_n d\mu + \int_B s_n d\mu$$

现在我们对等式两边取$n\to\infty$的极限：

• 左边：根据单调收敛定理（Levi定理），因为$s_n$单调递增到$f$，所以$\lim_{n\to\infty}\int_X s_n d\mu = \int_X f d\mu$；
• 右边：先把极限拆成两个极限的和——由于$\int_A s_n d\mu$和$\int_B s_n d\mu$都是单调递增的非负序列（因为$s_n$单调递增），极限存在（这里$f$可积，所以最终都是有限值），因此：
  $$\lim_{n\to\infty}\left(\int_A s_n d\mu + \int_B s_n d\mu\right) = \lim_{n\to\infty}\int_A s_n d\mu + \lim_{n\to\infty}\int_B s_n d\mu$$
  再对每个积分应用单调收敛定理，得到$\int_A f d\mu + \int_B f d\mu$。

这样左右两边的极限相等，就有：
$$\int_X f d\mu=\int_A f d\mu +\int_B f d\mu$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sigma Algebra