如何对三维向量进行（部分）叉除运算？

大家好，今天来聊一个三维向量叉积里的实用技巧——咱们能实现一种「部分叉除」的操作，先把背景说清楚：

很多人都会说三维向量不存在「叉除」运算，这话确实没错，但也有可以变通的场景。

假设我们已经知道 $\vec{A} \times \vec{B} = \vec{C}$，而且手里有 $\vec{A}$ 和 $\vec{C}$ 的具体值，那你要知道：满足这个等式的 $\vec{B}$ 向量有无数个。

这是因为任何一个符合条件的 $\vec{B}$ 都能拆成两个部分：

• 一个是和 $\vec{A}$ 平行的分量 $\vec{B}_{parr}$
• 另一个是和 $\vec{A}$ 垂直的分量 $\vec{B}_p$

其中，平行分量 $\vec{B}_{parr}$ 对叉积结果 $\vec{C}$ 没有任何贡献——毕竟两个平行向量的叉积结果是零向量嘛。所以真正决定 $\vec{C}$ 的是垂直分量 $\vec{B}_p$，这也是「部分叉除」的核心：虽然我们没法确定完整的 $\vec{B}$（因为平行分量可以是任意和 $\vec{A}$ 平行的向量），但我们能唯一确定 $\vec{B}$ 中垂直于 $\vec{A}$ 的那个分量 $\vec{B}_p$。

如果要推导这个垂直分量的具体表达式，也很简单：对等式 $\vec{A} \times \vec{B} = \vec{C}$ 两边同时叉乘 $\vec{A}$，得到 $\vec{A} \times (\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{A} \times \vec{C}$，再结合向量三重积公式 $\vec{A} \times (\vec{A} \times \vec{B}) = (\vec{A} \cdot \vec{B})\vec{A} - (\vec{A} \cdot \vec{A})\vec{B}$，代入 $\vec{B} = \vec{B}_{parr} + \vec{B}_p$ 且 $\vec{A} \cdot \vec{B}_p = 0$ 的性质，最终可以推导出 $\vec{B}_p = \frac{\vec{A} \times \vec{C}}{-|\vec{A}|^2}$（这里要注意$\vec{A}$不能是零向量，否则原等式本身就没有意义）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者David Graham