Cohen-Macaulay环中理想生成元为正则序列的证明及相关反例疑问

我来好好梳理一下这个问题，先从你提到的Eisenbud书中的那个核心结论说起，再聊聊你找到的反例相关的疑惑点。

关于Cohen-Macaulay环中理想生成元为正则序列的证明 #

你已经明确了在Cohen-Macaulay环$R$里，对于理想$I=(x_1,\dots,x_n)$，如果$\operatorname{codim}I =n$，那么$\operatorname{depth}I = \operatorname{codim}I =n$。接下来我们把这个depth的条件和正则序列直接挂钩：

首先回忆下，$\operatorname{depth}I$的定义是$R$中关于$I$的极大正则序列的长度。现在我们有$\operatorname{depth}I =n$，同时$I$恰好由$n$个元素生成，我们用归纳法来证明这$n$个元素构成正则序列：

• 基例n=1：此时$\operatorname{codim}(x_1)=1$，这说明$x_1$绝对不是零因子——要是$x_1$是零因子，它的极小素理想高度会小于1，这就和余维数为1矛盾了，所以$x_1$是正则元，自然构成长度为1的正则序列。
• 归纳假设：假设当$n=k$时结论成立，也就是如果理想$J=(x_1,\dots,x_k)$满足$\operatorname{codim}J=k$，那么$x_1,\dots,x_k$一定是正则序列。
• 归纳步骤：来看$n=k+1$的情况。先看$x_1$，因为$\operatorname{codim}I=k+1$，$x_1$不可能是零因子（否则$I$会包含在某个零因子的极小素理想里，余维数就会小于$k+1$），所以$x_1$是正则元。

接下来考虑商环$R/(x_1)$，它也是Cohen-Macaulay环——这是Cohen-Macaulay环的一个关键性质：模掉一个正则元之后，商环依然是Cohen-Macaulay的。

现在看商环里的理想$I/(x_1)=(x_2+(x_1),\dots,x_{k+1}+(x_1))$，它在$R/(x_1)$中的余维数是$\operatorname{codim}I - \operatorname{codim}(x_1) =k$（这一步用到了Cohen-Macaulay环中余维数的加性性质）。

根据归纳假设，$x_2+(x_1),\dots,x_{k+1}+(x_1)$在$R/(x_1)$中构成正则序列，再结合$x_1$是$R$的正则元，就能推出$x_1,\dots,x_{k+1}$是$R$中的正则序列了。

这里要提个小细节：刚才的推导默认了$\operatorname{codim}(x_1)=1$，这是因为$\operatorname{codim}I=k+1$，而$x_1\in I$，所以$x_1$的余维数不可能超过$\operatorname{codim}I$，同时如果$\operatorname{codim}(x_1)<1$，那$x_1$就是零元，显然不可能，所以只能是1。

关于你提到的反例的疑问 #

你给出的反例是：取域$k$，$R=k[x,y,z]$（这确实是Cohen-Macaulay环），理想$I=(x, y(1-x), z(1-x))$，你说这是个反例，但我仔细算了下，这个理想其实有个小问题：

我们来拆解一下$I$：因为$y(1-x)=y - xy$，而$xy$属于$(x)$，所以$y = y(1-x) + xy$，这说明$y\in I$；同理$z = z(1-x) + xz$，$xz\in(x)$，所以$z\in I$。这么一来，$I$其实就是极大理想$(x,y,z)$，它的余维数是3，和生成元个数一致。

那我们来检查这个生成元是不是正则序列：

• $x$是正则元，没问题；
• 看$y(1-x)$在$R/(x)$中的像就是$y$，在$k[y,z]$里$y$是正则元，所以$x,y(1-x)$构成正则序列；
• 再看$z(1-x)$在$R/(x,y(1-x))$中的像就是$z$，在$k[z]$里$z$是正则元，所以这三个元素确实构成正则序列，根本不是反例。

那你是不是构造反例的时候哪里考虑漏了？比如是不是想构造一个理想，余维数等于生成元个数，但生成元不是正则序列的情况？但根据我们之前的证明，在Cohen-Macaulay环里这种情况是不存在的——只有在非Cohen-Macaulay环里才能找到这样的例子，比如$R=k[x,y,z]/(xy,xz)$（这不是Cohen-Macaulay环），理想$I=(x,y,z)$余维数是1，生成元个数是3，显然不是正则序列，但这已经超出了Cohen-Macaulay环的范围。

总结 #

回到最开始的结论：在Cohen-Macaulay环$R$中，若理想$I=(x_1,\dots,x_n)$满足$\operatorname{codim}I =n$，那么$x_1,\dots,x_n$一定是正则序列。这个结论是严谨成立的，核心就是利用Cohen-Macaulay环中depth与codim相等的性质，结合归纳法和商环的Cohen-Macaulay传递性来证明。

而你提到的那个反例，本质上是构造出了一个和极大理想等价的理想，它的生成元确实是正则序列，所以并不是真正的反例。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Functor