基于行列式的矩阵内积定义可行性咨询
好问题！咱们先把内积必须满足的几个核心性质摆出来，再对照你提的这个定义一一排查，就能明白为啥它没法作为内积啦：
首先，复数域上的内积得满足三个关键要求：
- 共轭线性性：对第一个变量，$\langle \alpha A + \beta B, C \rangle = \overline{\alpha}\langle A,C \rangle + \overline{\beta}\langle B,C \rangle$；对第二个变量是线性的，$\langle A, \alpha B + \beta C \rangle = \alpha\langle A,B \rangle + \beta\langle A,C \rangle$
- 共轭对称性：$\langle A,B \rangle = \overline{\langle B,A \rangle}$
- 正定性：$\langle A,A \rangle \geq 0$，且$\langle A,A \rangle = 0$ 当且仅当 $A$ 是零矩阵
咱们来逐个看你提的 $\langle A,B \rangle = |\text{det}(A^\dagger B)|$ 符合不符合：
先看共轭线性性（连加性都过不去）：
假设取两个非零矩阵，比如 $A = I$（单位矩阵），$C = I$，$B = I$，那么 $\langle A+C, B \rangle = |\text{det}((2I)^\dagger I)| = |\text{det}(2I)| = 2^n$（n是矩阵阶数，比如n=2时就是4）。但 $\langle A,B \rangle + \langle C,B \rangle = |\text{det}(I)| + |\text{det}(I)| = 1+1=2$，显然 $4 \neq 2$，连最基本的加性都不满足，更别说线性性了。再看正定性：
$\langle A,A \rangle = |\text{det}(A^\dagger A)| = |\text{det}(A)|^2$，这个确实是非负的，但问题在于：当 $\langle A,A \rangle = 0$ 时，只需要 $\text{det}(A)=0$，不需要A是零矩阵啊！比如二阶矩阵 $A = \begin{pmatrix}1&0\0&0\end{pmatrix}$，它的行列式是0，所以 $\langle A,A \rangle = 0$，但A明显不是零矩阵，这就违反了正定性里“仅当A为零矩阵时内积为0”的要求。唯一符合的是共轭对称性：
$\langle B,A \rangle = |\text{det}(B^\dagger A)| = |\text{det}((A^\dagger B)^\dagger)| = |\overline{\text{det}(A^\dagger B)}| = |\text{det}(A^\dagger B)| = \langle A,B \rangle$，这一点是满足的，但另外两个核心性质不满足，就没法成为内积了。
至于应用层面，内积的核心作用是给空间赋予几何结构（定义长度、角度、正交性等），这个定义连“非零矩阵的长度可能为0”都做不到，根本没法用来构建这些几何概念，自然也就没有啥实际应用场景。而Frobenius内积之所以被广泛使用，就是因为它满足所有内积性质，而且还能和向量的标准内积对应（把矩阵按列拉成向量的话，Frobenius内积就是向量的点积），用起来非常方便。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者liuzp
