关于使用级数表示求解含自然对数的定积分的技术咨询

我最近碰到了一个挺棘手的积分问题，想请各位帮忙看看怎么求解：

$$\int_0^{2\pi} \ln\Bigg(\frac{\color{red}{r^{2}+\color{red}{r_0}2}-2rr_0\cos(\theta_0)}{r^2+\frac{a4}{r_0^2}-2a2\frac{r}{r_0}\cos(\theta_0)}\Bigg)d\theta_0$$

这里的$r,r_0,a$都是未指定的常数。

如果大家觉得这个形式太复杂，我也把它简化成了更通用的形式，求解思路应该是一致的：

$$\int_0^{2\pi} \ln\Bigg(\frac{a-\color{red}c\cos(\theta_0)}{b-\color{red}d\cos(\theta_0)}\Bigg)d\theta_0$$

我自己尝试用对数的级数展开来突破，自然对数的级数表示是：
$$\ln(x) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n(x-1)n}{n}$$
它的收敛域是$x\in[0,2]$。目前我先做了一个近似处理，把$\ln(x)$近似为$(x-1)$，这样原积分就转化成了：

$$\int_0^{2\pi} \Bigg(\frac{a - c\cos(\theta_0)}{b - d\cos(\theta_0)} - 1\Bigg)d\theta_0$$

不过这只是个粗略的近似，我想知道有没有更严谨的方法利用级数展开来求解这个积分，或者有没有其他更合适的解法？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Researcher R