仅依赖x和y'的泛函的欧拉-拉格朗日方程应用与驻值解验证问题
咱们先把问题明确下来：要找到函数$y(x)$，让积分
$$\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{x} \sqrt{1+(y')^2}, \mathrm dx$$
取驻值。
一开始用欧拉-拉格朗日方程$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)$（这里得提一句，原问题里的方程写错啦，应该是对$y'$的偏导），得到的解形式是$y = 2k \sqrt{x-k^2} + c$。
不过这里有个关键点：咱们应用欧拉-拉格朗日方程的时候，默认泛函里的$f$是显式依赖$y$、$x$和$y'$的，但这个问题里的$f(x,y') = \sqrt{x}\sqrt{1+(y')^2}$其实根本不直接依赖$y$！那如果用变分的基本定义——假设$Y(x) = y(x) + \alpha \eta(x)$（这里要注意$\eta(x_1)=\eta(x_2)=0$，这是变分的边界条件，不然没法保证端点固定），代入泛函后是不是也能得到同样的结论呢？
先看这种特殊情况的欧拉-拉格朗日方程简化：因为$\frac{\partial f}{\partial y}=0$，方程直接变成$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)=0$，意思就是$\frac{\partial f}{\partial y'}$是个常数。咱们来具体算一下：
$f = \sqrt{x}(1+(y')2){1/2}$，对$y'$求偏导：
$$\frac{\partial f}{\partial y'} = \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2}(1+(y')2){-1/2} \cdot 2y' = \frac{\sqrt{x} y'}{\sqrt{1+(y')^2}}$$
令这个偏导等于常数$C$，就有：
$$\frac{\sqrt{x} y'}{\sqrt{1+(y')^2}} = C$$
接下来解这个微分方程：两边平方整理一下
$$\frac{x (y')2}{1+(y')2} = C^2$$
$$x(y')^2 = C2(1+(y')2)$$
$$(y')^2(x - C^2) = C^2$$
$$y' = \frac{C}{\sqrt{x - C^2}}$$
然后积分：
$$y = \int \frac{C}{\sqrt{x - C^2}} dx$$
换元$u = x - C^2$，积分后得到$y = 2C\sqrt{x - C^2} + c$，把$C$换成$k$，就和之前得到的解$y = 2k\sqrt{x - k^2} + c$完全一致啦。
再用变分定义验证一下：把$Y(x)=y(x)+\alpha\eta(x)$代入泛函，得到
$$I(\alpha) = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{x}\sqrt{1+(y'+\alpha\eta')^2} dx$$
对$\alpha$求导并令$\alpha=0$（这是驻值的必要条件）：
$$I'(0) = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{x} \cdot \frac{y'\eta'}{\sqrt{1+(y')^2}} dx$$
用分部积分法，令$u = \frac{\sqrt{x} y'}{\sqrt{1+(y')^2}}$，$\mathrm dv = \eta' dx$，则$\mathrm du = \frac{d}{dx}\left( \frac{\sqrt{x} y'}{\sqrt{1+(y')^2}} \right)dx$，$v=\eta(x)$。因为$\eta(x_1)=\eta(x_2)=0$，分部积分后的边界项为0，所以：
$$I'(0) = - \int_{x_1}^{x_2} \frac{d}{dx}\left( \frac{\sqrt{x} y'}{\sqrt{1+(y')^2}} \right) \eta dx$$
由于$\eta(x)$是任意满足边界条件的函数，要让$I'(0)=0$，必须$\frac{d}{dx}\left( \frac{\sqrt{x} y'}{\sqrt{1+(y')^2}} \right)=0$，也就是$\frac{\sqrt{x} y'}{\sqrt{1+(y')^2}}$为常数，和之前的结论完全一致，解出来的$y(x)$自然也一样。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Aspirant29
