直角六边形非连续三边相等时的性质证明及边长计算方法咨询

首先明确问题核心：

设$H$是一个直角六边形，其中三条不连续的边长均为$a>0$。
请在不计算边长的情况下，证明另外三条边的长度也都相等。

你提到不清楚这类问题的解法，同时想了解如何计算具体边长，下面分两部分解答：

一、无需计算的证明思路 #

首先要注意：欧氏平面中不存在全内角为直角的六边形（欧氏六边形内角和为$720^{\circ$，六个直角总和是$540}\circ$，不匹配），所以这里的直角六边形是双曲平面中的图形（双曲多边形内角和小于欧氏对应值，六个直角的内角和符合双曲几何规则）。

证明的核心是利用对称性与双曲几何的内在约束：

• 考虑双曲直角六边形的交替边性质：我们可以把这个六边形看作由六条互相垂直的测地线围成的图形。假设三条不连续边（比如第1、3、5条）长度都是$a$，我们可以对六边形做反射对称变换——比如关于连接第2条边中点和第5条边中点的测地线反射，变换后的六边形会和原图形完全重合。
• 这种重合要求剩下的三条边（第2、4、6条）必须长度相等：如果其中某条边长度和另外两条不同，反射后的图形就无法和原图形匹配，产生矛盾。因此这三条边的长度必然全部相等。

另外，也可以利用双曲直角六边形的边长约束恒等式的对称性：这类六边形的边长满足一个对称的等式（后面计算部分会提到），当三条不连续边取值相同时，等式的对称性会强制另外三条边取值一致，不需要具体计算数值。

二、计算边长的具体方法 #

如果要算出另外三条边的具体长度，我们可以用双曲直角六边形的标准边长公式：
对于内角全为直角的六边形，设六条边按顺序为$l_1,l_2,l_3,l_4,l_5,l_6$，则满足：
$$\cosh l_1 \cosh l_3 \cosh l_5 + 1 = \cosh l_2 \cosh l_4 \cosh l_6 + \cosh l_1 \cosh l_2 + \cosh l_3 \cosh l_4 + \cosh l_5 \cosh l_6$$

已知$l_1=l_3=l_5=a$，设未知的三条边长度为$b$（即$l_2=l_4=l_6=b$），代入公式得：
$$\cosh^3 a + 1 = \cosh^3 b + 3\cosh a \cosh b$$

令$x = \cosh b$，$c = \cosh a$（因为$a>0$，所以$c>1$），方程转化为：
$$x^3 + 3c x - (c^3 + 1) = 0$$

我们可以通过因式分解或者数值方法求解这个三次方程，得到$x$的正实根（因为边长为正，所以$\cosh b>1$），之后通过反双曲余弦函数算出$b = \text{arccosh}(x)$。

另外，也可以把直角六边形分解为多个双曲直角三角形，利用双曲勾股定理$\cosh \text{斜边} = \cosh \text{直角边1} \times \cosh \text{直角边2}$逐步推导，最终也能得到相同的结果。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Intuition