Noether环中理想商Krull维数相关习题的证明及几何解释问询

嘿，这是交换代数里一道很核心的习题，咱们先把题目和已知条件理清楚：

设Noether环$R$中的理想$I$有准素分解$I = Q_1 \cap \ldots \cap Q_n$。证明：
$$\dim R/I = \max {\dim R/P : \text{$P$是$I$的孤立素理想}}.$$
其中孤立素理想指的是$I$的相伴素理想集合中的极小元，维数为Krull维数。请给出该结论的几何解释。

证明过程 #

咱们分两个方向来证这个等式：

方向1：$\dim R/I \ge \max {\dim R/P : P\text{为孤立素理想}}$

• 任取$I$的一个孤立素理想$P$，$R/P$中的任意一条素理想链$\overline{\mathfrak{p}}_0 \subsetneq \overline{\mathfrak{p}}_1 \subsetneq \ldots \subsetneq \overline{\mathfrak{p}}_k$，都对应$R$中一条以$P$为终点的素理想链$\mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}_k = P$。
• 因为$I \subseteq P$，这条链里的每个素理想$\mathfrak{p}_i$都包含$I$（毕竟$\mathfrak{p}_i \subseteq P$且$I \subseteq P$，而$P$是$I$的相伴素，$I$在$P$处的准素分支包含于$P$），所以这条链可以直接对应到$R/I$中的素理想链$\overline{\mathfrak{p}}_0 \subsetneq \ldots \subsetneq \overline{\mathfrak{p}}_k$。
• 这就说明$\dim R/P \le \dim R/I$对每个孤立素$P$成立，那所有$\dim R/P$的最大值自然也$\le \dim R/I$。

方向2：$\dim R/I \le \max {\dim R/P : P\text{为孤立素理想}}$

• 假设$R/I$中有一条长度为$k$的素理想链$\overline{\mathfrak{p}}_0 \subsetneq \overline{\mathfrak{p}}_1 \subsetneq \ldots \subsetneq \overline{\mathfrak{p}}_k$，对应到$R$中就是包含$I$的素理想链$\mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}_k$。
• 根据准素分解的性质：包含$I$的素理想必包含$I$的某个相伴素理想。所以$\mathfrak{p}_0$（作为包含$I$的素理想）一定包含某个$I$的相伴素$P$。又因为$P$是相伴素，我们可以取一个包含在$\mathfrak{p}_0$里的极小相伴素（也就是孤立素）$P'$（因为Noether环中相伴素集合有限，极小元存在），此时$P' \subseteq \mathfrak{p}_0$。
• 这样一来，$R$中的链$\mathfrak{p}_0 \subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}_k$就可以对应到$R/P'$中的素理想链$\mathfrak{p}_0/P' \subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}_k/P'$，这说明$k \le \dim R/P'$。
• 因为$P'$是孤立素，所以$k \le \max {\dim R/P : P\text{为孤立素}}$，而$\dim R/I$就是所有这样的$k$的最大值，因此$\dim R/I \le \max {\dim R/P : P\text{为孤立素}}$。

把两个方向结合起来，等式就成立啦。

几何解释 #

如果我们把$R$看作代数闭域上的仿射代数簇的坐标环（比如$R = k[x_1, x_2, \ldots, x_n]$，$k$是代数闭域），那：

• $R/I$对应的是仿射代数簇$V(I) = { \mathbf{x} \in \mathbb{A}^n_k \mid f(\mathbf{x})=0, \forall f \in I }$；
• 每个孤立素理想$P$对应$V(I)$的一个不可约分支$V(P)$（因为孤立素是极小相伴素，对应簇的极大不可约子簇）；
• $\dim R/I$是簇$V(I)$的Krull维数，也就是几何上的“维数”（比如曲线是1维，曲面是2维），$\dim R/P$就是不可约分支$V(P)$的维数。

所以这个结论的几何意义就是：一个代数簇的维数等于它的所有不可约分支的维数中的最大值——换句话说，整个簇的“大小”（维数）是由它最大的那个不可约子分支决定的，小的分支不会影响整个簇的维数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者octopus