三个子空间并集为子空间的充要条件证明验证与完善问询

嘿，我最近在推导三个子空间的并集是子空间的充要条件（即：$U_1 \cup U_2 \cup U_3$是$V$的子空间当且仅当其中一个子空间包含另外两个），尤其是正向推导的反证法部分，总觉得自己的推导有漏洞，想请大家帮忙验证和完善一下！

我的正向推导（必要性）思路 #

假设$U_1, U_2, U_3$是线性空间$V$的子空间，且$U_1 \cup U_2 \cup U_3$也是$V$的子空间。

我想用反证法来证明“其中一个子空间包含另外两个”这个结论：

1. 先假设结论不成立：也就是说，不存在任何一个子空间能包含另外两个。换个更具体的说法，就是既不是$U_3$包含$U_1\cup U_2$，也不是$U_1$包含$U_2\cup U_3$，也不是$U_2$包含$U_1\cup U_3$。基于这个假设，我推出：
   • 存在元素$x \in U_1 \setminus U_2 \setminus U_3$（$x$只属于$U_1$，不在$U_2$和$U_3$里）
   • 存在元素$y \in U_2 \setminus U_1 \setminus U_3$（$y$只属于$U_2$，不在$U_1$和$U_3$里）
2. 显然$x$和$y$都属于$U_1 \cup U_2 \cup U_3$，而因为这个并集是子空间，所以它们的和$x + y$也必须属于这个并集——也就是说$x + y$要么在$U_1$，要么在$U_2$，要么在$U_3$。

不过我推导到这里就有点卡壳了，原来的思路只写到“$x\in U_1\backslash U_2 \backslash U_3$，$y\in U_2 \backslash U_1 \backslash U_3$”这一步，想请教大家：

• 这个反证法的初始假设是不是正确的？有没有把“不存在一个子空间包含另外两个”的否定形式准确转化？
• 后续的矛盾推导应该怎么严谨完善？比如针对$x + y$可能所在的三个子空间情况，怎么一步步推出矛盾？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者h weber