局部可积函数的希尔伯特变换是否也局部可积？
嘿，这个问题问到点子上了，咱们先把定义和你的推导理清楚，再给出结论哈～
首先明确问题里的希尔伯特变换定义：对于局部可积函数 $f:\mathbb R\to \mathbb C$，$Hf$ 定义为：
$$Hf(x)=\lim_{\epsilon\to +0, R\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{\epsilon<|x-y|<R}\frac{f(y)}{x-y}dy,$$
这里要求这个极限对所有 $x$ 都存在。
你已经针对紧集 $K\subset\mathbb R$ 做了初步推导：
\begin{align}
\int_K|Hf(x)|dx
&=\int_K\lim \frac{1}{\pi} \left|\int_{\epsilon<|x-y|<R}\frac{f(y)}{x-y}dy\right|dx\
&\leqq \underline{\lim}\frac{1}{\pi}\int_K\int_{\epsilon<|x-y|<R}\left|\frac{f(y)}{x-y}\right|dydx\
&\leqq \underline{\lim}\frac{1}{\pi}\int_{-k}^k\int_{\epsilon<|x-y|<R}\left|\frac{f(y)}{x-y}\right|dydx,
\end{align}
（这里你应该是取了包含紧集 $K$ 的区间 $[-k,k]$ 对吧？）
那直接给结论：局部可积函数的希尔伯特变换不一定是局部可积的，咱们可以用一个反例来说明：
取函数 $f(y)$：当 $|y|<1/2$ 时，$f(y) = \frac{1}{y(\log|y|)^2}$；当 $|y|\ge1/2$ 时，$f(y)=0$。这个 $f$ 是局部可积的，因为计算积分：
$$\int_{-1/2}^{1/2}|f(y)|dy = 2\int_0^{1/2}\frac{1}{y(\log y)^2}dy$$
做变量替换 $t=-\log y$，积分就变成 $2\int_{\log2}\infty\frac{dt}{t2}=\frac{2}{\log2}<\infty$，确实是有限的。
但它的希尔伯特变换 $Hf$ 在 $x=0$ 附近是不可积的：当 $x$ 趋近于0时，$Hf(x)$ 的行为近似于 $\frac{1}{x\log|x|}$，而积分 $\int_{-1/2}^{1/2}\left|\frac{1}{x\log|x|}\right|dx$ 是发散的，这就说明 $Hf$ 在包含0的紧集上不可积，也就是 $Hf$ 不是局部可积的。
补充一句：如果 $f$ 属于 $L^p(\mathbb R)$（其中 $1<p<\infty$），那希尔伯特变换 $Hf$ 不仅局部可积，还属于 $L^p(\mathbb R)$，这是希尔伯特变换的经典有界性结果，但对于仅仅满足局部可积的 $f$，就没有这个保证啦。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者kcal
