求解无穷限积分极限（最简有理数形式）及分子约数个数，征集多种解法

其实我之前碰到这么一个问题，可惜原问题质量不达标，没法直接在原帖下回复答案。这个问题的核心是求下面这个极限，结果要写成最简有理数，还要算出分子的约数个数：

$$\lim_{n \to \infty}\int_1^n\frac{x{4} + 2x^{2} + 1}{\left(x^{\frac{113}{25}} + \frac{11}{3}x^{\frac{63}{25}} + 11x^{{\frac{13}{25}}\right)}{5}}\mathrm{d}x$$

大家完全可以分享各种不同的解法，我先把我的解法思路放出来，之后也会把这个内容的相关信息同步回原问题那边。

我的解法步骤 #

我打算先计算不定积分，再代入上下限求极限。

步骤1：化简被积函数

首先设不定积分：
$$A=\int\frac{x^{4} + 2x^{2} + 1}{\left(x^{\frac{113}{25}} + \frac{11x^{\frac{63}{25}}}{3} + 11x^{{\frac{13}{25}}\right)}{5}}\mathrm{d}x$$

先做基础化简：

• 分子是完全平方：$x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2$
• 分母提取公因子$x^{\frac{13}{25}}$，计算指数差：$\frac{113}{25}-\frac{13}{25}=4$，$\frac{63}{25}-\frac{13}{25}=2$，因此分母可简化为：
  $$\left(x^{{\frac{13}{25}}\left(x}4 + \frac{11}{3}x^2 + 11\right)\right)^5 = x^{\frac{13}{5}} \cdot \left(x^4 + \frac{11}{3}x^2 + 11\right)^5$$

代入后积分A变为：
$$A=\int\frac{(x²⁺¹⁾2}{x^{\frac{13}{5}} \cdot \left(x^4 + \frac{11}{3}x^2 + 11\right)^5}\mathrm{d}x$$

步骤2：凑微分求不定积分

观察分母的结构，我们尝试构造凑微分的形式：
令$B = x^4 + \frac{11}{3}x^2 + 11$，计算其导数$B' = 4x^3 + \frac{22}{3}x$。

假设不定积分的原函数形式为$\frac{C}{x^k \cdot B^4}$，对其求导并与被积函数对比系数，最终可以得到：
$$\frac{(x²⁺¹⁾2}{x^{\frac{13}{5}} \cdot B^5} = -\frac{5}{88} \cdot \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{x^{\frac{8}{5}} \cdot B^4} \right)$$

因此不定积分的结果为：
$$A = -\frac{5}{88} \cdot \frac{1}{x^{\frac{8}{5}} \cdot \left(x^4 + \frac{11}{3}x^2 + 11\right)^4} + C$$

步骤3：计算极限

代入定积分上下限1到n：
$$\int_{1}^n \frac{(x²⁺¹⁾2}{x^{\frac{13}{5}} \cdot \left(x^4 + \frac{11}{3}x^2 + 11\right)^5}\mathrm{d}x = -\frac{5}{88}\left[ \frac{1}{n^{\frac{8}{5}} \cdot \left(n^4 + \frac{11}{3}n^2 + 11\right)^4} - \frac{1}{1^{\frac{8}{5}} \cdot \left(1 + \frac{11}{3} + 11\right)^4} \right]$$

当$n \to \infty$时，第一项$\frac{1}{n^{\frac{8}{5}} \cdot (n^4+\dots)4} \sim \frac{1}{n^{\frac{88}{5}}} \to 0$，因此极限为：
$$\lim_{n \to \infty} \dots = \frac{5}{88} \cdot \frac{1}{\left( \frac{47}{3} \right)^4}$$

化简这个结果：
$$\frac{5}{88} \cdot \frac{3^4}{474} = \frac{5 \times 81}{88 \times 47^4} = \frac{405}{88 \times 47^4}$$

步骤4：计算分子的约数个数

对分子405做质因数分解：$405 = 3^4 \times 5^1$，根据约数个数公式（各质因数指数加1后相乘），约数个数为：
$$(4+1) \times (1+1) = 5 \times 2 = 10$$

欢迎大家分享其他更巧妙的解法！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Blue Cat Blues