无穷级数求和与相关积分闭形式求解咨询

嗨，我来帮你拆解这个问题的解法和思路，分两部分来聊：先解决你最开始的无穷级数求和，再看那个积分的闭形式~

一、原无穷级数的直接求和方法 #

首先得明确，这个级数要收敛的话，得保证$a, b$都是正实数（不然分母可能会在k增大时趋近于0，或者交替级数的收敛条件不满足），咱们先默认$a,b>0$来讨论。

把级数改写一下，先提取$1/b$：
$$\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{1}{a+kb} = \frac{1}{b}\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k + \frac{a}{b}}$$
令$c = \frac{a}{b}$，级数就变成$\frac{1}{b}\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k + c}$，这个交替的求和式可以用**Digamma函数（双伽马函数）**来表示闭形式：
$$\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k + c} = \frac{1}{2}\left(\psi\left(\frac{c+1}{2}\right) - \psi\left(\frac{c}{2}\right)\right)$$
这里的Digamma函数$\psi(z)$是伽马函数的对数导数，也就是$\psi(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}$，它是数学中定义好的标准特殊函数，对任意正实数参数都适用，完全满足你说的参数为实数的情况。

另外，你也可以用积分的方式推导这个结果：利用$\frac{1}{k + c} = \int_0^\infty e^{-(k+c)t}dt$，把级数转化为积分交换顺序（因为级数绝对收敛，交换是合法的）：
$$\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\int_0\infty e^{-(k+c)t}dt = \int_0^\infty \frac{e^{-ct}}{1 + e^{-t}}dt$$
再做变量替换$u = e^{{-t}$，这个积分就变成$\int_0}1 \frac{u^{c-1}}{1+u}du$，最终也能和Digamma函数的表达式对应上。

二、积分$\int_0^1 \frac{1}{1+x^k}dx$的闭形式 #

你提到的这个积分，先做个变量替换$t = x^k$，那么$x = t^{1/k}$，$dx = \frac{1}{k}t^{1/k - 1}dt$，积分就转化为：
$$\int_0^1 \frac{1}{1+t} \cdot \frac{1}{k}t^{1/k - 1}dt = \frac{1}{k}\int_0^1 \frac{t^{1/k - 1}}{1+t}dt$$
这个积分其实就是刚才级数求和里当$c = 1/k$的情况，所以直接套用Digamma函数的表达式就能得到闭形式：
$$\int_0^1 \frac{1}{1+x^k}dx = \frac{1}{2k}\left(\psi\left(\frac{1}{2k} + \frac{1}{2}\right) - \psi\left(\frac{1}{2k}\right)\right)$$
咱们可以用特殊值验证一下：比如k=2时，积分是$\int_0^1 \frac{1}{1+x²}dx = \frac{\pi}{4}$，代入公式计算：
$\psi\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right) - \psi\left(\frac{1}{4}\right) = \psi\left(\frac{3}{4}\right) - \psi\left(\frac{1}{4}\right)$，利用Digamma函数的反射公式$\psi(1-z) - \psi(z) = \pi\cot(\pi z)$，这里$z=1/4$，所以结果是$\pi\cot(\pi/4) = \pi$，代入公式得到$\frac{1}{4}\pi = \frac{\pi}{4}$，完全对得上。

三、补充说明 #

1. 你之前把级数转化为积分的思路是对的，只是可能变量名有点混淆（级数的求和指标k和积分的参数k重名了，容易误解），调整变量名后就能和上面的推导对应起来。
2. 对于实数参数的情况，像Digamma函数这种标准特殊函数就是我们能得到的“闭形式”了——它们和正弦、余弦一样，都是数学中被广泛认可的基本函数，属于闭形式解的范畴。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者tensorman666