关于求解数列极限$\lim \limits_{n \to \infty} 1+(-1)^n \cdot \frac{1}{n^2}$的方法咨询及过程验证

问题描述 #

我现在遇到了一个数列极限的问题，需要求解：
$$\lim \limits_{n \to \infty} 1+(-1)^n \cdot \frac{1}{n^2}$$
我知道$\lim \limits_{n \to \infty} 1+ \frac{1}{n^2} = 1$，但问题出在$(-1)^n$这个项上——它会让数列不单调，不过我能看出来随着$n$增大，数列在1附近的振荡幅度越来越小。我想知道该怎么严谨地证明这个极限，以及正确的书写步骤是什么？

我的思路验证 #

我尝试用夹逼准则来解，请问这样的步骤是对的吗？
$$\lim_{n\to\infty} 1-\frac{1}{n^2} \leq \lim_{n\to\infty} 1+(-1)^{n\cdot\frac{1}{n}2} \leq \lim_{n\to\infty} 1+\frac{1}{n^2}$$
$$1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2} \leq \lim_{n\to\infty} 1+(-1)^{n\cdot\frac{1}{n}2} \leq 1+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}$$
$$1-0 \leq \lim_{n\to\infty} 1+(-1)^{n\cdot\frac{1}{n}2} \leq 1+0$$

专业解答 #

你的思路完全正确！这正是**夹逼准则（迫敛性定理）**的标准应用场景，我们可以把步骤补充得更严谨、完整一些：

步骤1：先对原数列的每一项建立不等关系 #

对于任意正整数$n$，由于$(-1)^n$的取值只能是$1$或$-1$，所以必然有：
$$1 - \frac{1}{n^2} \leq 1 + (-1)^n \cdot \frac{1}{n^2} \leq 1 + \frac{1}{n^2}$$
这里要注意：我们先对数列的每一项确定上下界，而不是先对极限取不等式，这是夹逼准则应用的前提逻辑。

步骤2：计算上下界数列的极限 #

分别对左右两个边界数列取极限：
$$\lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = 1 - \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2} = 1 - 0 = 1$$
$$\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n^2}\right) = 1 + \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2} = 1 + 0 = 1$$

步骤3：应用夹逼准则得出结论 #

根据夹逼准则的核心逻辑：如果数列${a_n}, {b_n}, {c_n}$满足$a_n \leq b_n \leq c_n$对所有正整数$n$成立，且$\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}c_n = L$，那么$\lim_{n\to\infty}b_n = L$。

在这里，目标数列${1 + (-1)^n \cdot \frac{1}{n^2}}$被两个极限均为1的数列严格夹在中间，因此可以直接得出：
$$\lim \limits_{n \to \infty} 1+(-1)^n \cdot \frac{1}{n^2} = 1$$

补充：用$\boldsymbol{\varepsilon-N}$定义直接证明（可选） #

如果你想从极限的原始定义角度做更严谨的验证，也可以这样操作：
对于任意给定的$\varepsilon > 0$，我们需要找到正整数$N$，使得当$n > N$时，
$$\left| \left(1 + (-1)^n \cdot \frac{1}{n^2}\right) - 1 \right| < \varepsilon$$
化简绝对值表达式：
$$\left| (-1)^n \cdot \frac{1}{n^2} \right| = \frac{1}{n^2} < \varepsilon$$
解这个不等式可得$n > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$，取$N = \left\lfloor \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} \right\rfloor + 1$（$\lfloor x \rfloor$表示向下取整），当$n > N$时，上述不等式必然成立，因此极限为1。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Zsolt Raduska