关于椭圆曲线上满足特定条件的两点纵坐标比值是否为有理数的问询

嘿，这个问题挺有意思的，我直接给你找个具体例子，再掰扯清楚为啥这种情况是可行的～

首先明确下问题背景：我们有椭圆曲线 $E: y^2 = x(x-a)(x-b)$，其中 $a,b$ 都是有理数，现在有两个点 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ 满足：

• 两点都在 $E$ 上
• $x_1, x_2$ 都是有理数
• $y_1, y_2$ 都不是有理数，而且两个纵坐标不相等

你的问题是：这两个纵坐标的比值有可能是有理数吗？

答案是完全可以，我给你构造一个实打实的例子：

我选 $a=1$，$b=2$，这样椭圆曲线就是 $E: y^2 = x(x-1)(x-2)$。

第一个点，我取 $x_1=3$（有理数，没问题），代入曲线方程计算 $y_1^2$：
$y_1^2 = 3*(3-1)(3-2) = 32*1 = 6$，所以 $y_1 = \sqrt{6}$（取正的就行，负的不影响比值），显然 $\sqrt{6}$ 不是有理数，符合条件。

第二个点，我取 $x_2=\frac{1}{2}$（也是有理数），代入计算 $y_2^2$：
$x_2(x_2-1)(x_2-2) = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2}) = \frac{3}{8}$，所以 $y_2^2 = \frac{3}{8}$，化简一下 $y_2 = \sqrt{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$（同样取正的），这个数也不是有理数，而且和 $y_1$ 不相等。

现在算它们的比值：$\frac{y_1}{y_2} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{6}}{4}} = 4$，这可是个正儿八经的有理数！

为啥能做到这一点呢？其实道理很简单：当 $x$ 是有理数时，$x(x-a)(x-b)$ 必然是有理数（因为 $a,b,x$ 都是有理数），我们把这个值记为 $q$，那 $y = \pm\sqrt{q}$。如果我们能找到两个有理数 $x_1,x_2$，使得对应的 $q_1$ 和 $q_2$ 满足 $q_1/q_2$ 是某个有理数的平方，那它们的 $y$ 坐标比值自然就是有理数了。比如上面的例子里，$q_1=6$，$q_2=3/8$，$q_1/q_2=16=4^2$，刚好是平方数，所以比值就是4。

你想构造更多例子也很容易：随便选个椭圆曲线，先找个有理 $x_1$ 得到无理的 $y_1$，再找另一个有理 $x_2$，让对应的 $y_2^2 = y_1^2 / k^2$（$k$ 是你选的非零有理数），只要这个关于 $x_2$ 的三次方程有有理解就行，大部分情况下都能找到这样的 $x_2$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者aleph0