关于范数的缩放性质及ℝ²中范数特定不等式的证明方法咨询

嘿，这个问题挺有意思的！你关心的是ℝ²（或者更一般的ℝⁿ）里的范数是不是都满足$|(a,b)| \geq |(a,0)|$这个不等式，还想知道能不能不用范数等价性来证明，对吧？先给你浇个小冷水：这个不等式并不是对所有范数都成立的，不过咱们常用的那些范数确实都满足，下面给你掰扯清楚：

• 先看个反例，打破你的“确信”：
  我们可以构造一个合法的范数：$|(x,y)| = |x| + |y - x|$。咱们来验证它符合范数的三条公理：

  • 正定性：只有当$x=0$且$y-x=0$（也就是$y=0$）时，范数才为0，没问题；
  • 齐次性：$|(kx,ky)| = |kx| + |ky - kx| = |k|(|x| + |y - x|) = |k||(x,y)|$，满足；
  • 三角不等式：$|(x_1+x_2,y_1+y_2)| = |x_1+x_2| + |(y_1+y_2)-(x_1+x_2)| \leq |x_1|+|x_2| + |y_1-x_1| + |y_2-x_2| = |(x_1,y_1)| + |(x_2,y_2)|$，也成立。
    现在算两个具体值：$|(1,1)| = |1| + |1-1| = 1$，而$|(1,0)| = |1| + |0-1| = 2$，显然$1 < 2$，这就直接违反了你提出的不等式。

• 那为什么你会觉得它成立？因为日常用的范数都带对称性/单调性：
  像欧几里得范数（L2）$\sqrt{a²+b²} \geq \sqrt{a²} = |(a,0)|$，L1范数$|a|+|b| \geq |a|$，L∞范数$\max(|a|,|b|) \geq |a|$，这些常用范数要么关于坐标轴对称，要么分量单调，自然满足这个不等式。

• 要是给范数加些额外条件，不用等价范数也能证：
  比如我们要求范数满足分量单调性：如果$|x_1| \leq |x_2|$且$|y_1| \leq |y_2|$，那么$|(x_1,y_1)| \leq |(x_2,y_2)|$。这时候，因为$|0| \leq |b|$，$|a|=|a|$，所以$|(a,0)| \leq |(a,b)|$，直接得证。
  或者要求范数关于y轴对称（$|(x,y)| = |(x,-y)|$），结合三角不等式也能推，不过这个绕一点，不如单调性直接。

• 最后说下你提到的范数等价性思路：
  这个思路其实没法直接证明你要的不等式——因为范数等价性只能说存在正的常数m、M，让$m|x|_1 \leq |x| \leq M|x|_1$对所有x成立。用这个只能推出$|(a,b)| \geq m(|a|+|b|) \geq m|a| = m|(a,0)|_1 \geq \frac{m}{M}|(a,0)|$，这只是一个比例上的下界，没法得到$|(a,b)| \geq |(a,0)|$这种严格的大小关系哦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者John Doe