非负$C^0 \cap H^1$类零点渐增函数序列的弱极限问题

嘿，咱们来聊这么一个有意思的分析问题：我手头有个函数序列${f_n}$，每个$f_n$都满足下面这些性质：

• $f_n \in H^1(\Omega) \cap C^0(\bar\Omega)$
• $f_n \geq 0$（整个序列里的函数全是非负的）
• 存在一个和$n$无关的常数$C>0$，使得$\lVert f_n \rVert_{H^1(\Omega)} \leq C$（也就是说这个序列在$H^1(\Omega)$空间里的范数是一致有界的）
• 对每个$n$，$f_n$在$n$个点${x_i^n}$处的取值都是0，这些点是从区域$\Omega$里按照均匀分布采样得到的$n$个点

靠着这个$H^1$范数的一致有界性，我们能知道当$n \to \infty$时，一定存在这个序列的某个子序列，使得$f_n$弱收敛到某个$f \in H^1(\Omega)$（原文表述未完成，但核心的弱收敛结论是由空间自反性与有界性推导而来的）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者math_guy