请求验证自行撰写的Dynkinπ-λ定理证明是否存在漏洞

在我们的实分析课程中，老师要求我们证明Dynkin的$\pi$-$\lambda$定理。我在网上搜索了一阵后发现，能找到的证明对我来说都太过冗长了。因此我自己写了一份“证明”，想问问各位这里面有没有什么漏洞：

符号说明 #

• $X$：基础集合
• $\lambda(\mathcal C), \sigma(\mathcal C)$：分别是由集合族$\mathcal C\subseteq \mathcal 2^X$生成的$\lambda$-系和$\sigma$-代数
• $\Pi, \Lambda$：给定的$\pi$-系和$\lambda$-系

我的证明 #

Since $\dots$（注：原文证明内容未粘贴完整）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SuperSupao