关于交错调和数相关无穷级数的证明求助

大家好，我最近碰到了一个涉及交错调和数的无穷级数问题，希望能得到各位的帮助：

已知这样一个典型的级数：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} (2n-1)\left(\frac{\zeta(2)}{2}-\overline{H}_{n-1}^{(2)}\right)2=\frac{\zeta(2)}{2}
$$

这里的交错调和数定义为：
$$
\overline{H}{n}^{(r)} = \sum{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{kr} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^r} - \frac{1}{2^{{r-1}}\sum_{k=1}}{\lfloor{n/2}\rfloor} \frac{1}{k^r}
$$

另外我们知道$\overline{H}{\infty}^{(2)} = \zeta(2)/2$，所以级数里的项也可以写成交错调和和的尾项形式：
$$
\frac{\zeta(2)}{2}-\overline{H}{n-1}^{(2)} = \sum_{k=n}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k2}
$$

我尝试过找这个级数的生成函数，但没找到什么有用的思路来推导结果。而且这个结果这么简洁，我感觉应该有更优雅的证明方法，但自己暂时没想到，所以特意来这里提问。

提前感谢各位的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nanayajitzuki