什么是复定向格拉斯曼流形？

嗨，我来帮你理清楚这个概念～其实你自己的思路已经非常接近核心了，先给你搭个概念框架，再对应到你的构造就会更清晰：

首先回忆下实定向格拉斯曼流形的思路：它是实格拉斯曼流形的二重覆盖，每个点对应带定向的k维实子空间。复定向格拉斯曼流形是类似的提升，但复数域下的“定向”有特殊的几何意义：

在复几何里，复向量空间本身自带天然的复结构，能诱导出标准定向，但这里的“复定向格拉斯曼流形”不是简单的定向，而是对复格拉斯曼流形的一种S¹-丛提升，也就是你提到的$\tilde G(k, \mathbb C^n) \to G(k, \mathbb C^n)$结构。

从概念上看，它可以被理解为：$\mathbb C^{n+k}$中所有带有“特殊幺正结构”的n维复子空间的集合。具体说，复格拉斯曼流形$G(k, \mathbb C^n)$的每个点对应一个无额外结构的n维复子空间，而复定向格拉斯曼流形的每个点，是给这个子空间额外配上了一个“行列式为1的标准正交标架等价类”——这里的等价关系是模SU(n)作用，而非普通的U(n)作用。

你用复Stiefel流形定义的$\tilde G(k, \mathbb C^n) = V_n^{n+k} / SU(n)$完全正确，这个构造是标准的。之所以搜不到太多资料，是因为这个术语在文献里用得相对小众，更多是作为拓扑丛构造里的中间对象出现。

再补个拓扑视角：复格拉斯曼流形$G(k, \mathbb C^n)$的基本群是$\mathbb Z$，这个S¹-丛其实是对应到它的第一陈类的一个丛提升，每个纤维的S¹对应了子空间标架的“行列式相位”（因为SU(n)是U(n)中行列式为1的子群，商掉SU(n)后，剩下的自由度就是S¹的相位）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者red_trumpet