关于李《黎曼流形导论》中TM联络拓展至T^(k,l)TM张量丛命题的证明补全求助

各位好，我最近在啃Lee的《黎曼流形导论》，卡在了命题4.15的证明补全上，想请大家帮忙指点一下。先把用到的符号定义和命题内容放出来：

$$
\def\nablax{\nabla_\bX}
\def\nablay{\nabla_\bY}
\def\nablaxy{\nabla_\bX\bY}
\def\nablayx{\nabla_\bY\bX}
\def\w{\omega}
\def\bX{X}
\def\bY{Y}
$$

命题4.15 设$M$是带或不带边界的光滑流形，$\nabla$是$TM$上的一个联络。则$\nabla$唯一确定了每个张量丛$T^{(k,l)}TM$上的一个联络（也沿用$\nabla$这个记号），满足以下四个条件：

1. 在$T^{(1,0)}TM = TM$中，这个$\nabla$和给定的TM上的联络完全一致。
2. 在$T^{{(0,0)}TM$（也就是光滑实值函数丛$C}\infty(M)$）中，$\nabla$就是方向导数：对任意$f \in C^\infty(M)$和光滑向量场$X$，$\nabla_X f = Xf$（原问题里这部分内容没写完，我补了标准的表述）。
3. 对任意张量场$S$和$T$，满足Leibniz法则：$\nabla_X(S \otimes T) = (\nabla_X S) \otimes T + S \otimes (\nabla_X T)$。
4. 和缩并运算可交换：对任意张量场$T$以及任意的指标$i,j$，$\nabla_X(\text{缩并}{i,j} T) = \text{缩并}{i,j}(\nabla_X T)$。

我现在的问题是，不知道怎么从TM上的已知联络出发，一步步构造出所有张量丛上的联络，并且严格证明这个构造是唯一的。尤其是在处理不同阶数、不同类型的张量场时，递推的逻辑总是理不清楚，细节上也有很多模糊的地方。有没有大佬能帮我把证明里的关键步骤补全，或者给我梳理一下思路呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sam