关于带隐式定义参数的参数化随机变量的几乎必然收敛拓展应用问题

嗨，我接着之前研究的随机变量几乎必然收敛问题继续深挖，现在遇到个想不通的点来请教：

我手头有一族带参数的独立同分布（iid）随机变量序列 $X_i(\omega;\alpha)$，首先它满足参数$\alpha$到$X_i(\omega;\alpha)$的映射是单调递增的，而且几乎必然成立如下收敛关系：
$$
\lim_{n\to\infty}\left| \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i(\omega;\alpha)-\mu\cdot \alpha\right|=0 \tag{*}
$$

现在我想基于这个结论做进一步推导：如果对每个$n$，我们根据样本点$\omega$选择一个依赖于它的参数$\alpha_n(\omega)$，让它满足等式
$$
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i(\omega;\alpha_n)=C
$$
（这里$C$是某个固定常数），那我能不能得到关于$\alpha_n(\omega)$的几乎必然收敛结论呀？比如说，是不是能推出$\alpha_n(\omega)$几乎必然收敛到$C/\mu$呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者APP