求证函数$y=2^x$、$y=\log_2{x}$与直线$y=2-x$交点间距离小于$\sqrt{2}$的技术问询

嘿，我来帮你把这个问题的证明补完整～

首先你已经走对了关键一步：设A、B的横坐标分别为$x_1$和$x_2$，代入直线方程得到两点坐标后，算出AB的距离是$\sqrt{2}|x_1 - x_2|$。所以要证明AB < $\sqrt{2}$，核心就是要证明$|x_1 - x_2| < 1$。

接下来咱们一步步分析：

• 点A是$y=2^{x$和$y=2-x$的交点，满足方程$2}{x_1} = 2 - x_1$；
• 点B是$y=\log_2{x}$和$y=2-x$的交点，满足方程$\log_2{x_2} = 2 - x_2$。

先看两个方程的解的范围：

• 令$f(x)=2^x + x - 2$，这是个单调递增函数（指数函数和一次函数都是递增的）。代入$x=0$得$f(0)=-1<0$，$x=1$得$f(1)=1>0$，所以$x_1 \in (0,1)$；
• 令$g(x)=\log_2{x} + x - 2$，同样是单调递增函数（对数函数在定义域内递增，一次函数也递增）。代入$x=1$得$g(1)=-1<0$，$x=2$得$g(2)=1>0$，所以$x_2 \in (1,2)$。

现在$x_2>1>x_1$，所以$|x_1 -x_2|=x_2 -x_1$，咱们要证$x_2 -x_1 <1$，也就是$x_2 <x_1 +1$。

用反证法试试：假设$x_2 \geq x_1 +1$，那么：

1. 因为$g(x_2)=0$，所以$\log_2{x_2}=2 -x_2$；又$x_2 \geq x_1+1$，所以$\log_2{x_2} \geq \log_2{(x_1+1)}$，代入得$\log_2{(x_1+1)} \leq 2 -x_2$；
2. 因为$x_2 \geq x_1+1$，所以$2 -x_2 \leq 2 -(x_1+1)=1 -x_1$；
3. 又因为$f(x_1)=0$，即$2^{x_1}=2 -x_1$，变形得$1 -x_1=2^{x_1}-1$；
4. 结合上面的结论，就有$\log_2{(x_1+1)} \leq 2^{x_1}-1$。

但咱们可以验证，当$x_1 \in (0,1)$时，$\log_2{(x+1)} > 2^x -1$恒成立：

• 令$h(x)=\log_2{(x+1)} - (2^x -1)$，$h(0)=0$，$h(1)=1 - (2-1)=0$；
• 对$h(x)$求导得$h'(x)=\frac{1}{(x+1)\ln2} - 2^x \ln2$，在$(0,1)$区间内，$h'(x)$是递减的，且$h'(0)=\frac{1}{\ln2}-\ln2≈1.44-0.69>0$，$h'(1)=\frac{1}{2\ln2}-2\ln2≈0.72-1.38<0$，说明$h(x)$在$(0,1)$先增后减，始终大于0。

这就和刚才的$\log_2{(x_1+1)} \leq 2^{x_1}-1$矛盾，所以假设不成立，即$x_2 -x_1 <1$。

最后代入距离公式：$\sqrt{2}|x_1 -x_2| < \sqrt{2}*1=\sqrt{2}$，完美证明AB的距离小于$\sqrt{2}$～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者egg