有限平展代数中$R = A^G$与态射$\gamma$为同构的等价性证明问题

嘿，我最近卡在一道交换代数的习题上了，想请各位大佬帮忙梳理下思路！

设$R$是一个具有连通$\mathrm{Spec}(R)$的交换环，$A$是一个非零的有限平展$R$-代数且$\mathrm{Spec}(A)$连通。设$G \subseteq \mathrm{Aut}_R(A)$是一个有限子群。

我需要证明下述等价性：$R = A^G$当且仅当下面的$A$-代数态射是同构：
$$\gamma : A \otimes_R A \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathrm{Sets}} (G,A)$$
其中态射的定义为：$a \otimes b \mapsto (g \mapsto a \cdot g(b))$。

我的尝试 #

目前我只从$(\Longleftarrow)$方向开始了初步思考，但还没理清楚完整的证明逻辑，卡在了中间步骤上，暂时没有太多进展...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Measure me