关于区间[0,2]上分段函数定积分∫₀²f=-1的证明正确性的技术问询

先明确问题：

给定分段函数$f(x)$：当$x \in [0,1)$时，$f(x)=1$；当$x \in [1,2]$时，$f(x)=-2$。需要证明$\int_0^2 f(x)dx = -1$。

咱们来拆解这个证明的核心逻辑：
首先，$P(f, \mu)$指的是任意给定划分下的黎曼和，其中$||P||$是划分的范数（也就是划分里最长子区间的长度）。

观察这个分段函数就能发现，对于任意划分来说，大部分子区间上的函数值都是固定的——只有包含$x=1$的那个子区间，函数值的选择（取决于我们取的样本点$\mu_k$）会影响整个黎曼和的结果：

• 如果在这个子区间里选的样本点$\mu_k$满足$f(\mu_k)=-2$，那么整个黎曼和会比-1最多小$3||P||$，也就是满足：$ -1 - 3||P|| \leq P(f, \mu) $
• 如果在这个子区间里选的样本点$\mu_k$满足$f(\mu_k)=1$，那么整个黎曼和会比-1最多大$3||P||$，也就是满足：$ P(f, \mu) \leq -1 + 3||P|| $

结合黎曼积分的定义：当划分的范数$||P||$趋近于0时，$3||P||$也会趋近于0，这时候黎曼和的极限就只能是-1。由此就能证明$\int_0^2 f(x)dx = -1$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Aleph