嘿，我现在碰到这么个组合数相关的证明问题，先把问题本身和我的进展整理出来：

设 $ n > 0 $，定义如下表达式：
$$
A_n=\frac{n! (30n)!}{(6n)!(10n)!(15n)!}
$$

问题分为两个部分：

• (a) 证明$A_n$不能表示为二项式系数的乘积（注：并非任意二项式系数，具体见编辑说明）
• (b) 证明对任意$ n \geq 0 $，$A_n$都是整数

我的尝试 #

目前我已经完成了(b)的证明，但在(a)上遇到了瓶颈，先说说(b)的证明思路：

我使用了Legendre公式来计算阶乘中素数的指数：
$$
\nu_p(n!) = \sum_{i=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^i} \right\rfloor.
$$
通过这个公式，我计算了任意素数$p$在$A_n$分解中的指数（这个指数记为$\text{ord}_p(A_n)$或者$\nu_p(A_n)$）：...（后续内容未完成，暂保留此状态）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者some_math_guy