关于求和式∑_{d|n}μ(n/d)τ(d)的闭形式求解及未完成证明的探讨

最近做作业遇到了这个问题，试了几个小例子后我猜这个求和式的结果恒为1，也就是$\sum_{d|n}\mu(n/d)\tau(d)=1$。我已经搞定了一个证明，但过程中还试了另一种思路，结果卡在半中间了，下面把这个未完成的过程写出来，想问问大伙这个方向能不能走通，或者有没有办法接着推下去？另外如果有其他证明方法或者求这个表达式闭形式的思路，也欢迎分享~

补充说明：$\tau(k)$是正整数$k$的正约数个数，$\mu$是莫比乌斯函数。

未完成的证明尝试 #

A. 先处理$n=1$的情况： #

$\sum_{d|1}\mu(1/d)\tau(d)=\mu(1)\tau(1)=1\cdot1=1$，完全符合猜想。

B. 再考虑$n>1$的情况： #

我本来打算从这里开始展开分析，但写着写着就卡壳了，目前只开了个头，不知道接下来该怎么推进这个思路，有没有大佬能给点提示？

已完成的证明 #

我用狄利克雷卷积的方法完成了证明，具体过程如下：

1. 首先，约数计数函数$\tau(n)$可以表示为狄利克雷卷积的形式：$\tau = 1 * 1$，这里的$*$指狄利克雷卷积，即$\tau(n)=\sum_{d|n}1(d)\cdot1(n/d)$，本质就是数$n$的所有正约数个数。
2. 题目中的求和式其实就是$\mu$和$\tau$的狄利克雷卷积：$(\mu * \tau)(n)=\sum_{d|n}\mu(n/d)\tau(d)$。
3. 根据狄利克雷卷积的结合律，$\mu * \tau = \mu * (1 * 1) = (\mu * 1) * 1$。
4. 我们知道莫比乌斯函数的一个核心性质：$\mu * 1 = \varepsilon$，其中$\varepsilon$是狄利克雷卷积的单位元，满足$\varepsilon(n)=1$当且仅当$n=1$，否则$\varepsilon(n)=0$。
5. 那么$(\mu * 1) * 1 = \varepsilon * 1$，计算这个卷积：$(\varepsilon * 1)(n)=\sum_{d|n}\varepsilon(n/d)\cdot1(d)$。当$n/d=1$也就是$d=n$时，$\varepsilon(n/d)=1$，其余项都是0，所以结果就是$1(n)=1$，对任意正整数$n$都成立。

这样就证明了我们的猜想。

不过如果有其他角度的证明方法，比如直接展开莫比乌斯函数的定义来推导，也欢迎大家一起讨论~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Patadar