均匀分布随机变量的独立性（反例探讨？）

咱们先把问题的前提和核心疑问理清楚：
假设存在一个有限集合$M$，有两个随机变量$X$和$Y$（重点是它们不是几乎处处相等的），二者都在$M$上服从均匀分布——也就是说，对任意$m\in M$，都满足：
$$
\mathbb P(X=m) = \mathbb P(Y=m) = \frac{1}{\lvert M\rvert}
$$

核心问题来了：仅靠「两个变量各自边缘均匀分布」这一个条件，能不能直接推出$X$和$Y$是独立的？也就是对任意$m,m'\in M$，是否一定有：
$$
\mathbb P(X=m, Y=m') = \frac{1}{\lvert M\rvert^2} = \mathbb P(X=m)\cdot \mathbb P(Y=m')
$$

你的直觉其实是对的——答案是不能，均匀分布并没有特殊到能强制两个变量独立的程度。咱们举个最直观的反例就能说明：

取$M={0,1}$（最简单的二元有限集合），给$X$和$Y$定义如下联合概率分布：

• $\mathbb{P}(X=0,Y=0)=0$
• $\mathbb{P}(X=0,Y=1)=\frac{1}{2}$
• $\mathbb{P}(X=1,Y=0)=\frac{1}{2}$
• $\mathbb{P}(X=1,Y=1)=0$

先验证边缘分布：

• 对$X$来说，$\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=0,Y=0)+\mathbb{P}(X=0,Y=1)=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，$\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{2}$，完全符合均匀分布；
• 对$Y$来说，$\mathbb{P}(Y=0)=\mathbb{P}(X=0,Y=0)+\mathbb{P}(X=1,Y=0)=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，$\mathbb{P}(Y=1)=\frac{1}{2}$，也是均匀分布。

同时，$X$和$Y$显然不是几乎处处相等的——它们的取值永远相反，根本不会同时取到同一个值。

但看独立性的要求：比如$\mathbb{P}(X=0,Y=0)=0$，而$\mathbb{P}(X=0)\cdot\mathbb{P}(Y=0)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，两者不相等，直接违反了独立的定义。

这个例子就很清楚地说明：哪怕两个变量各自都是均匀分布，也完全可能不独立。边缘分布的性质不足以决定联合分布的结构，均匀分布也不例外。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Joseph Expo