三维及高维欧氏空间中含指数衰减项与径向幂次的积分求解咨询

问题描述 #

给定欧氏空间中向量的模长定义为 $\lvert x\rvert=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n2}$，我现在需要解决两个相关的积分问题：

1. 当空间维度 $n=3$ 时，计算这个Riemann积分：
   $$\int_{\mathbb R^3}e{{-\tau\lvert x\rvert}^2}{\lvert x\rvert}^Kdx_1dx_2dx_3,$$
   其中参数 $\tau>0$，$K$ 是自然数；
2. 对于任意自然数 $n$，要说明为什么存在一个不依赖于 $\tau$ 的正常数 $C$，使得下面的积分满足：
   $$\int_{\mathbb R^n}e{{-\tau\lvert x\rvert}^2}{\lvert x\rvert}^Kdx_1\ldots dx_n=C\tau^{-(n+K)/2}$$

目前尝试与困惑 #

我试着换成球坐标来计算三维的情况，但得到的结果特别复杂，总担心自己哪里算错了。而且到目前为止，我们这门课还没学过任何特殊函数，这些积分应该是...（内容未完成）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者categoricallystupid