含第一类零阶贝塞尔函数的无穷积分解析求值问询（t>ρ情形）

各位大佬好！我最近在解决流体力学问题时遇到了这么一个反常积分：
$$
I = \int_0^\infty \frac{J_0(k\rho) \sin(kt)}{k^2 + \lambda^2} , \mathrm{d}k
$$
这里参数满足 $\rho, t \in [0, 1]$，且 $\lambda > 0$。

我尝试用留数法来解析求解这个积分，于是构造了关于复变量 $z$ 的函数：
$$
f(z) = \frac{H_0^{(1)}(z\rho) \sin(zt)}{z^2 + \lambda^2}
$$
还规划了一个闭合围道：包含从 $-R$ 到 $-\epsilon$ 的割线上侧、以原点为圆心半径 $\epsilon$ 的顺时针小半圆，以及从 $\epsilon$ 到 $R$ 的正实轴（后续还打算接上半平面的大圆弧，围道细节还在调整）。

不过目前我在处理割线处的积分项、小半圆的极限过程时卡壳了，尤其是当 $t > \rho$ 的情况，完全不知道该怎么推进。有没有熟悉复分析积分或者特殊函数积分的朋友，能帮忙梳理下这个积分的求解步骤，或者给点关键思路提示呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Eulerian