使用圆柱壳法计算实心环面体积时的错误排查求助

我最近在做Stewart的Calculus（第8版，习题6.3.46，第455页）里的一道题，要求用圆柱壳法计算一个截面圆半径为$r$、中心环半径为$R$的实心环面的体积，示意图如下：

![实心环面示意图]

因为经验不足，我把生成环面的圆放在了坐标平面的中心，打算绕$x=R$轴旋转矩形来计算体积。按照这个思路，我得出每个圆柱壳的周长是$2\pi(R-x)$，高度是$2\sqrt{r^2-x2}$，厚度是$\Delta x$，我的分析示意图如下：

![我的推导分析示意图]

我原本写出了对应的积分式，但算出来的结果和预期不符，有没有大佬能帮我排查一下哪里出错了呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Juancho Arias