关于凸集{(x,y)∈ℝ²₊:xy≥1}无极点的疑问及紧性假设必要性的困惑
嗨，我来帮你理清这个问题～首先咱们先明确极点的定义：一个点是凸集的极点，当且仅当你没法把它写成集合里另外两个不同点的凸组合（简单说就是，这个点不能落在集合里某条线段的中间，只能是端点）。
先看你问的(1,1)：如果咱们讨论的是闭集{(x,y)∈ℝ²₊:xy≥1}（也就是x、y都是正实数，且乘积大于等于1），那**(1,1)其实是这个集合的极点**。为啥？假设咱们想找两个不同的点a=(x₁,y₁)和b=(x₂,y₂)都在集合里，让(1,1)是它们的凸组合，也就是存在0<λ<1，使得1=λx₁+(1-λ)x₂，1=λy₁+(1-λ)y₂。
根据算术-几何均值不等式，λx₁+(1-λ)x₂ ≥ x₁^λ x₂^(1-λ)，λy₁+(1-λ)y₂ ≥ y₁^λ y₂(1-λ)，把这两个式子相乘，左边是1×1=1，右边是(x₁y₁)λ (x₂y₂)(1-λ)。因为x₁y₁≥1，x₂y₂≥1，所以右边≥1λ×1^(1-λ)=1。要让左右两边相等，必须满足x₁=x₂且y₁=y₂，也就是a和b是同一个点——这说明(1,1)没法表示成集合里两个不同点的凸组合，所以它是极点。
那为啥备注说这个集合是反例？这里可能有个小混淆：定理说“凸且紧的集合一定有极点”，但反过来，凸非紧的集合不一定没有极点——像这个闭集就是凸非紧，但有极点（边界上所有xy=1的点都是）。不过如果咱们把集合换成开集{(x,y)∈ℝ²₊:xy>1}（乘积严格大于1），情况就不一样了：这个集合里没有任何极点，因为随便找一个点(x,y)，只要取足够小的ε>0，点(x+ε,y)和(x-ε,y)都满足(x±ε)y>1（因为xy>1，ε只要小于(xy-1)/y就行），它们的中点就是(x,y)，所以每个点都能写成另外两个点的中点，自然没有极点。这个开集才是“凸非紧集合没有极点”的典型反例，用来说明紧性假设的必要性——没有紧性，凸集可能就没有极点了。
另外还要注意，紧集在ℝ²里等价于“有界闭集”，咱们讨论的这个集合（不管开闭）都是无界的（比如点(n,1)，n趋向无穷大时都在集合里），所以它不是紧集，这也是定理不直接适用的原因。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lilimini Maya
