24阶非交换忠实二维复表示群的存在性证明及与S₄非同构性验证的技术问询

24阶非交换忠实二维复表示群的存在性证明及与S₄非同构性验证的技术问询 #

各位好呀，我最近卡在这个代数问题上了，想跟大家聊聊我的思路，也求点指点：要证明存在一个24阶的非交换群G，它有一个忠实的二维复表示，同时还要证明这个G和S₄不同构。

目前我已经摸出了一些头绪，整理如下：

• 第一步，我先考虑了四元数群Q₈到GL₂(ℂ)的表示φ：

  • 定义φ(i) = I = $\begin{bmatrix} i & 0 \ 0 & -i \end{bmatrix}$
  • φ(j) = J = $\begin{bmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \end{bmatrix}$
  • 对任意整数m,n，都有φ(iᵐjⁿ) = IᵐJⁿ，我初步判断这个表示是忠实的——毕竟Q₈的非单位元都对应到了GL₂(ℂ)里不同的矩阵，没有把非单位元映到单位矩阵。

• 然后我定义了四元数w = $\frac{1}{2}(-1+i+j+k)$，计算后发现w³=1，这说明w的阶是3。我在想，是不是可以用Q₈和由w生成的3阶循环群来构造半直积？毕竟8×3=24，刚好是我们要的群阶数。不过具体怎么定义半直积的作用，还有怎么把原来Q₈的二维表示扩展到这个24阶群上，让它保持忠实性，这部分我还没理清楚。

另外关于和S₄非同构的部分，我初步想了几个方向：比如看群的中心，S₄的中心是平凡的（没有非单位元能和所有元素交换），如果我构造的G中心是非平凡的——比如包含Q₈的中心{±1}，那肯定和S₄不同构；或者看元素的阶分布，S₄里的元素阶为1、2、3、4，具体数量是1个1阶元，9个2阶元（6个对换+3个双对换），8个3阶元（3-循环），6个4阶元（4-循环），如果我构造的G里元素阶的分布和这个不一样，比如存在6阶元素，或者2阶元数量不同，也能直接说明两者非同构。

现在卡在的点就是怎么把Q₈和3阶群的半直积构造严谨，并且验证它的忠实二维复表示存在，还有最后把和S₄非同构的结论严谨证明出来。有没有大佬能给点思路呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者topman